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式中，
C1?f3?f1(f?f)/(x2?x1)?C1 ,C2?21x3?x1x2?x3将只用一次二次插值计算所得xp的作为函数的极小点x*的近似解往往达不到精度要求，为此需缩短区间，进行多次插值计算，使xp不断逼近原函数的极小点x*。 迭代过程
根据原区间中x2和xp的相对位置f2和fp函数值和的大小，区间缩短有4种情况： 若xp> x2，f2>fp，则以[x2, x3]为新区间，令x1←x2, x2←xp, x3不变； 若xp> x2，f2≤fp，则以[x1, xp]为新区间，令x3←xp, x1, x2不变； 若xp≤x2，f2> fp，则以[x1, x2]为新区间，令x3←x2, x2←xp, x1不变； 若xp≤x2，f2≤fp，则以[xp, x3]为新区间，令x1←xp, x2和 x3不变。 3 n次拉格朗日插值多项式 插值多项式的存在唯一性
所谓构造插值多项式就是要构造一个不超过n次的多项式
pn(x)?a0?a1x???anxn
使其满足以下插值条件：
a0?a1x0???anx0?y0a0?a1x1???anx1?y1?a0?a1xn???anxn?yn式4.9是一个关于待定参数a0，a1，… ，an的n+1阶线性方程组，其系数矩阵行列式
n1x0?x0nnn (4.9)
Vn?1x1?x1n???n1xn?xn?0?j?i?n?(x?x)
ij称为Vandermonde(范德蒙)行列式。当时xi≠xj(i≠j)，满足条件(4.9)的插值多项式存在且唯一。
n次拉格朗日插值多项式
直接通过解线性方程组(4.9)来确定插值多项式的系数，一般计算工作量较大，且得出的多项式不便于应用。因此常用其他一些方法来构造插值多项式。下面采用所谓插值基函数的方法来构造一种具有一定特点的插值多项式。
对于给定的n+1个互异点xi (i=0,1,…,n)处的数据f(xi)=yi (i=0,1,…,n)，令
nx?xj(x?x0)(x?x1)?(x?xi?1)(x?xi?1)?(x?xn)li(x)???,i?0,1,...,n(4.10)
(xi?x0)(xi?x1)?(xi?xi?1)(xi?xi?1)?(xi?xn)j?0xi?xjj?i称li(x)为关于节点xi的n次插值基函数，且li(x)满足
?0,j?i?li??(i,j?0,1,...,n)? (4.11)
?1,j?i?再令
pn(x)?Ln(x)?y0l0(x)?y1l1(x)???ynln(x)??yi?i?0j?0j?innx?xjxi?xj (4.12)
Ln(x)称为n次拉格朗日插值多项式。
例4.4 已x0=3, x1=-1, x2=4, f(x0)=5, f(x1)=-3, f(x2)=2，求L2(x)。 解：
由式4.10得
l0(x)?l1(x)?l2(x)?(x?x1)(x?x2)(x?1)(x?4)(x?1)(x?4)???(x0?x1)(x0?x2)(3?1)(3?4)4(x?x0)(x?x2)(x?3)(x?4)(x?3)(x?4)??
(x1?x0)(x1?x2)(?1?3)(?1?4)20(x?x0)(x?x1)(x?3)(x?1)(x?3)(x?1)??(x2?x0)(x2?x1)(4?3)(4?1)5由2次拉格朗日插值多项式4.12得
L2(x)?l0(x)y0?l1(x)y1?l2(x)y2(x?1)(x?4)(x?3)(x?4)(x?3)(x?1)?5??(?3)??2
4205??x2?4x?2??例4.5 根据拉格朗日插值公式，ln(x)在x=1.5的值，差值区间x∈[1,20]。 Matlab int-lagrange
4.4 插值与拟合的其他方法
1 差商与牛顿插值
设在x0,x1,…,xn处，函数y=f(x)的取值分别为f(x0), f(x1),…, f(xn)。根据pn(x)=a0+a1(x- x0)+…+an(x- x0)(x- x1)…(x- xn-1)取： Nn(x0)= a0=f(x0)
Nn(x1)= a0+a1(x1- x0)=f(x1)
Nn(x2)= a0+a1(x2- x0)+ a2(x2- x0) (x2- x1)=f(x2)
Nn(xn)= a0+a1(xn- x0)+…+ an(xn- x0)(xn- x1)…(xn- xn-1)=f(xn) (4.13) 这是关于未知数a0,a1,…,an的下三角形方程组，可以求得
a0?f(x0)a1?a2?f(x1)?f(x0)?f[x0,x1]x1?x0f(x2)?f(x0)?a1(x2?x0)f[x0,x2]?f[x0,x1]??f[x0,x1,x2](x2?x0)(x2?x1)x2?x1
利用数学归纳法可以证明ak?f[x0,x1,?,xk](k?1,2,...,n)，代入式4.13便得到
Nn(x)?f(x0)?f[x0,x1](x?x0)?f[x0,x1,x2](x?x0)(x?x1)?...?f[x0,x1,?,xn](x?x0)(x?x1)...(x?xn?1)式4.14称为n次牛顿(Newton)插值公式。 例4.6 利用牛顿插值法求解例4.4。 解：
(4.14)
f[x0]?f(x0)?5f[x0,x1]?f[x1,x2]?f(x1)?f(x0)?3?5??2
x1?x0?1?3f(x2)?f(x1)2?3??1x2?x14?1f[x1,x2]?f[x0,x1]1?2???1x2?x04?3根据差商的性质，有
f[x0,x1,x2]?N2(x)?f(x0)?f[x0,x1](x?x0)?f[x0,x1,x2](x?x0)(x?x1)
?5?2(x?3)?(?1)(x?3)(x?1)??x2?4x?22 列维尔插值法
列维尔(Neville)插值法又称为逐次插值，是一种实用的插值方法。其基本思想是通过低一次的多项式的组合来得到高一次的插值多项式。 列维尔插值法的算法顺序如下。
P0,1是通过比它低一次的插值多项式P0和P1与(x-x0)和(x-x1)交叉得到的，即
P0,1?(x?x0)Px?x0x?x11?(x?x1)P0?P?P0 1(x?x0)?(x?x1)x1?x0x0?x1同样，
P1,2?(x?x1)P2?(x?x2)Px?x2x?x11?P?P2 1(x?x1)?(x?x2)x1?x2x2?x1P0,1,2是P0,1和P1,2与(x-x0)和(x-x2)交叉得到的，即
P0,1,2(x?x0)Px?x2x?x01,2?(x?x2)P0,1??P0,1?P1,2(x?x0)?(x?x2)x0?x2x2?x0(x?x1)P2,3?(x?x3)Px?x3x?x11,2?P?P2,3 1,2(x?x1)?(x?x3)x1?x3x3?x1(x?x0)Px?x3x?x01,3?(x?x3)P0,2?P0,2?P1,3(x?x0)?(x?x3)x0?x3x3?x0P1,2,3?P0,1,2,3?列维尔插值法的插值过程见表4.1。
表4.1列维尔插值法的插值过程 xi x0 x1 f(xi) p0 p1 一阶多项式 p0,1 二阶多项式 三阶多项式 n阶多项式 x2 x3 . . . xn p2 p3 . . . pn p1,2 p2,3 . . . pn-1,n p0,1,2 p1,2,3 . . . pn-2,n-1,n p0,1,2,3 . . . pn-3,n-2,n-1,n p0,1,2,…,n 例4.7 考虑第一类零阶贝塞尔(Bessel)函数J0，下表列出了J0在几个点上的函数值： xi f(xi) 1.0 0.7651977 1.3 0.6200860 1.6 0.4554022 1.9 0.2818186 2.2 0.1103623 2.5 -0.0483838 试用列维尔插值法和拉格朗日插值法计算f(1.5)的近似值。
3 曲线拟合的最小二乘法
最小二乘法应用广泛，其原理是建立某种误差的平方和，通过使误差平方和最小，求出问题的解。
例4.8 已知一超定方程组：
2x1?4x2?13x1?5x2?3x1?2x2?62x1?x2?7用最小二乘法进行求解。 解：
建立下面的误差方程：
Q?(2x1?4x2?1)2?(3x1?5x2?3)2?(x1?2x2?6)2?(2x1?x2?7)2
通过将误差平方和Q对x1，x2求一阶导数，并令其为0，得到两个关于x1，x2的线性方程，通过求解该线性方程组，可得到超定方程的解。 最小二乘法数据拟合为：对于一组观测数据（xi,yi）（i=0，1，… ,n），要求出自变量x与因变量y的函数关系y=p(x,a0, a1,…, am)，其中ak（k=0,1,2,… ,m）为待定参数，使给定点xi上的误差?i?f(xi)?yi的平方和
??i?0n2i最小。进求一多项式
p(x)?a0?0(x)?a1?1(x)???am?m(x),m?n (4.15)
使
I(a0,a1,...,am)???i[p(xi)?yi]2i?0n???i[a0?0(xi)?a1?1(xi)?...?am?m(xi)?yi]2i?0n
为最小。这就是最小二乘法逼近，得到的拟合曲线，这种方法称为曲线拟合的最小二乘法。由极值必要条件可得
n?I?2??i[a0?0(xi)?a1?1(xi)?...?am?m(xi)?yi]?k(xi)?0 (4.17) ?aki?0k?0,1,...,m