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到广泛应用，很多结构或流体分析商业软件都采用有限元法求解。下面通过阶梯轴有限元列式的建立来说明有限元法的基本思想和基本格式的推导过程。 一受轴向力作用的阶梯轴，采用虚位移原理建立该阶梯轴的有限元列式。虚位移原理可叙述为：弹性体在给定的约束和一组外力作用下处于平衡时，外力在约束和变形协调条件允许的任意一组虚位移上所做的虚功等于弹性体内应力在相应虚应变上所做的功，即
?*TF???*T?dv
v对阶梯轴的典型单元，虚位移原理可表示为Fi?ui?Fj?uj??le0?*T?Aedx
du dx应力与应变的关系为 （本构关系）??E?
位移与应变的关系为 （几何关系）??设位移模型为u??1??2x 对第①单元，边界条件为x?0将边界条件代入位移模式，得
u?uix?leu?uj
?1?uie?2?uj?uilexxu?ui(1?)?uj?(Nilele?ui?Nj)??
?uj?记????ui???ui?*??，则虚位移???。
u?j???uj?dNj??ui?1??(???dx?le??uj?1?ui?)???B?e le?uj?du?dNi??根据几何关系，有??dx??dx虚应变为??B?
**?*T??*TBT?(?ui?1????le???uj)??
1????le??1?ui?)?? le?uj?*T根据本构关系，有
??E??EB?e?E(?1le将以上各式代入虚功方程，得?F??le0?*T?Aedx
1?ui?)??Aedx le?uj?即(?ui?uj)????(?ui0F?j??Fi?ele?1????1?l??uj)?e?E(?1le????le??因为δ*是任意一组可能的虚位移，要使上式相等，必有
le?Fi?????0?Fj?e?1????1?le?E(??1?le????le??1?ui?)??Aedx le?uj?即
?1e?2?Fi?le???E??1?Fj???l2?e1??1?2??2le?le?ui?lAe???dx?EAe?e1?0?uj??1?22??le??le1??2?le?1?le2??e?ui????uj?eFe?ke?e,?EAe?2lek??e?EAe??l2e?(1)k12(1)k22?EAe??le2? EAe?le2??下面进行总体刚度矩阵的装配。扩展单元刚度矩阵为
K~~(1)(1)?k11?(1)??k21?0?00??0?,0??~~(1)K?K~~(2)?00(2)??0k11?(2)?0k21?0?(2)? k12?(2)?k22?总体刚度阵为
K?K~~(2)
则整体有限元列式为KU?F,U?[u1u2u3]T,F?[F1F2F3]T
1.5 多学科设计优化集成软件iSIGHT简介
是一个集成优化平台，它一方面将各学科的专业知识和分析软件集成，另一方面提供丰富的优化探索策略，包括各种传统优化算法及启发式优化算法。它能够与各种商业软件接口，将专业软件作为各学科或子系统仿真和求解的工具，通过将iSIGHT与商业软件耦合实现数据流的传递，iSIGHT根据分析软件计算结果进行优化，为分析软件提供新的初值，直到计算结果满足设计目标和约束为止。iSIGHT同时是一个开放环境，可以集成用户利用各种计算机高级语言开发的分析计算程序或软件。其他软件ANSYS、I-DEAS等也具有多学科分析优化的功能。
更新设计变量 iSIGHT与仿真分析软件耦合协议 设计任务 分析与分解 输入设计 变量初值 N 满足设计 要求吗？ Y 输出结果 仿真分析软件 输出计算结果 iSIGHT与仿真分析软件耦合协议 iSIGHT优化分析
iSIGHT集成设计优化工作流程
本课程内容
线性规划
一维搜索方法：进退法，黄金分割法，拉格朗日插值，插值和拟合，一元及多元非线性方程求根
无约束优化问题 约束优化问题
多目标函数优化设计 MATLAB优化实现 本课程要求
1、了解优化算法特点。
2、掌握MATLAB软件的优化工具箱函数。
3、熟练掌握MATLAB软件的优化问题的设计分析。
4、注重培养学生的独立设计及开发能力，采用理论与实践相结合，理论讲述与实例分析相结合的方法进行教学，培养和提高学生分析问题和解决问题的能力。 考核方式：笔试（闭卷）
本课程为考试课。
本课程根据教学内容安排3-5次上机作业。
考核主要由四方面综合评定，即平时出勤占10% ，平时作业占20% ，上机实验综合成绩占50% ，随堂考试成绩占20% 。
理论课程主要采用课件授课方式。
第2章 优化设计的数学基础 2.1 向量与矩阵的范数 1. 向量的范数
向量是既有大小又有方向的量，一般用坐标分量来表示，如x?[x1x2...xn]T。向量
的大小用某种数量来表示，称为范数，其中向量的长度就是常用的一种范数，记作x2，即
22x2?x12?x2?...?xn （2.1）
任意向量x?[x1x2...xn]T的范数记为x，它是一个实数，且满足下列3个条件：
nn)，x?0时，x?0；（1）x?0,?x?R(R是n维实向量线性空间
（2）?x??x,???R,x?Rn; ?x,y?Rn.
（3）x?y?x?y,常用的向量范数有：
向量的无穷范数
x??maxxi（或称为l∞范数）
1?i?n向量的1范数
x1??xi（或称为l1范数）
i?1n向量的2范数
x2?(?xi2)2（或称为l2范数）
i?1n1x=[1 2 -3 -8 -9 5] 9 28 1 4 9 64 81 25 2 矩阵的范数
对于给定的n阶方阵A，将A?maxx?0Ax （2.2） x称为矩阵A的范数。
常用的矩阵范数有下面几种：
（1） 矩阵的无穷范数或称为最大行范数
A??max?aij
1?j?nj?1n（2） 矩阵的1范数或称为最大列范数
A1?max?aij
1?j?ni?1n