发布时间 : 星期三 文章第八章 假设检验更新完毕开始阅读7fd57f61ddccda38376baff2
§8.2 正态总体参数的假设检验
§8.2.1 单个正态总体参数的假设检验
设总体X~N(μ,σ2)，x1,x2,?,xn是X的容量为n的一个样本，其样本均值和
1n1n2样本方差分别为x??xi，s?(xi?x)2，则总体参数的假设检验包括总体均?n-1i?1ni?1值的假设检验和总体方差的假设检验。 （一）总体均值的假设检验
针对不同的备选假设，我们可以提出下面三个假设检验问题： （i） H0：μ=μ0，对H1：μ≠μ0； （ii） H0：μ=μ0，对H1：μ＞μ0； （iii）H0：μ=μ0，对H1：μ＜μ0。 （1）已知方差σ2，检验假设H0：μ=μ0
由抽样分布理论知，
x?μσ/n～ N（0，1），从而当原假设H0成立时，
x?μ0σ/n～ N（0，1） (8.1)
因此，我们取统计量U?x?μ0σ/n为检验统计量。
对于给定的显著水平α，由于统计量U的分布在H0成立条件下是已知的，则根据上述（i），（ii），（iii）的不同统计假设，就完全能确定接受域。例如对统计假设（ii）H0：μ=μ0，对H1：μ≠μ0，取uα/2使满足
P(U?uα/2?α/2
当给出了样本的观测值x1,x2,…,xn,可以算出U的观测值u，比较u和uα/2.若u≥uα/2，我们认为小概率事件发生了，则拒绝原假设H0，即认为总体的真实均值与H0给定的μ0之间有
显著差异；反之，若u＜u1-α/2，没有小概率事件发生，则接受H0，即认为观测结果与原假设H0：μ=μ0无显著差异。
这也等价于：当U的观测值u∈（-uα/2，uα/2）则接受H0；反之则拒绝H0。称uα/2为临界值，由uα/2所确定的[-uα/2，uα/2]叫做接受域，（-∞，-uα/2）∪(uα/2, +∞)叫拒绝做域。
于是我们得到已知方差σ2时单个正态总体均值的检验法（称为U检验法）的步骤如下： 1．提出原假设H0：μ=μ0
2．选取检验统计量U?Zx?μ0σ/n，在H0成立之时，U～N（0，1）。
3．取显著水平α，查正态分布表，确定接受域。例如，对（i）查正态分布表得uα/2，因此接受域为（- uα/2，uα/2）。
4．根据样本观测值计算检验统计量U的观测值u
?(i)u?uα/2?5．作决策：若?(ii)u?uα?(iii)u??uα?绝原假设H0：μ=μ0
(H1:μ?μ0)(H1:μ?μ0) ，则接受原假设H0：μ=μ0，否则就拒(H1:μ?μ0)例8.2 由经验知某种零件的重量X~N（20，0.05），改革加工工艺后，抽测了8个样品，测得它们的重量如下（单位：g）：
19.8，20.3，20.4，19.9，20.2，19.6，20.5，20.1
已知方差不变，问改革加工工艺后这种零件的平均重量是否仍为20g（α=0.05）？
解 这是已知方差σ2时单个正态总体均值的假设检验 1． 提出原假设H0：μ=20对H1：μ≠20
2．取U?x?μ0σ/n作为统计量，在H0成立下，U~N（0，1）。
3．在显著水平α=0.05下，查正态分布表，得临界值u0.025=1.962，确定接受域为（-1.962，1.962）
4．根据样本观测值计算得x?20.1，从而检验统计量U?x?μ0σ/n的观测值为：
u=
20.1?200.05/8?1.265
5．作判断：因为u=1.265∈（-1.96，1.96），故应当接受原假设H0，即认为改革加工工艺后这种零件的平均重量仍为20g
（2）未知方差σ2，检验假设H0：μ=μ0
由抽样分布理论得知，
x?μs/n~ t（n-1），所以，在原假设H0成立时，有
x?μ0s/nx?μ0s/n~ t（n-1） (8.2)
我们取T?为检验统计量。于是，对于给定的统计假设和显著水平α，就能确
定接受域，从而在未知方差时检验正态总体均值的问题就都解决了。这个检验法称为t检验法。
对于具有相同的原假设H0：μ=μ0的三个统计假设，其t检验法的步骤如下： 1． 提出原假设H0：μ=μ0，对H1：μ≠μ0
2．取样本x1,…,xn的统计量T?x?μ0s/n，在H0：μ=μ0成立时，T～t(n-1)分布。
3．对给定的显著水平α，根据统计量T服从自由度为n-1的t分布，可以确定相应的接受域。例如对备选假设H1：μ≠μ0的接受域为：t?t?/2(n?1)。其中tα/2（n-1）叫做临界值，可由查t分布表得到。
4．根据样本观测值计算检验统计量T的观测值t?x?μ0s/n.
?(i)t?tα/2(n?1)(H1:μ?μ0)?5．作判断：若?(ii)t?tα(n?1)(H1:μ?μ0)
?(iii)t??t(n?1)(H:μ?μ)α10?则接受原假设H0；反之则拒绝H0.
例8.3 为测定某种药物对人的血压有无疗效，测量了10名试验者在服药前后的血压，得血压差值的数据如下：
6，8，4，6，-3，7，2，6，-2，-1
假定服药前后人的血压差值服从正态分布。问在显著性水平α=0.05下能否认为该药物能够改变人的血压？
解：用X表示服药前后人的血压差值，且X~N（μ，σ2 ）。这里样本容量n=10且方差σ2未知，因此采用t检验法，其步骤为：
1． 提出原假设H0：μ=0对H1：μ≠0
2．取T?x?μ0s/n作为统计量，在H0成立下，T~t（9）。
3．在显著水平α=0.05下，查自由度为9的t分布表，得临界值t0.05(9)=2.2622。确定接受域为（-2.2622，2.2622）
4．根据样本观测值计算得x?3.3,s?7.014，从而统计量T?2x?μ0s/n的观测值为：
t=
3.3?07.04/10?3.9409
5．作判断：因为t=3.9409>2.2622，故应当拒绝原假设H0，即认为该药物能够改变人的血压。
例8.4 设罐头番茄汁中维生素C含量服从正态分布。按照规定，维生素C的平均含量约为21毫克。现从一批罐头中随机抽取16罐，计算得x?23毫克，S?3.9毫克。问这批罐头的维生素C含量是否合格（α=0.05）？