发布时间 : 星期六 文章江苏省高考数学二轮复习专题二立体几何2.3专题提能—“立体几何”专题提能课达标训练（含解析）更新完毕开始阅读80095a7227c52cc58bd63186bceb19e8b8f6ecc1
“立体几何”专题提能课
A组——易错清零练
1．设l，m表示直线，m是平面α内的任意一条直线．则“l⊥m”是“l⊥α”成立的____________条件(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个)．
解析：由l⊥m，m?α，可得l?α，l∥α或l与α相交，推不出l⊥α；由l⊥α，
m?α，结合线面垂直的定义可得l⊥m.故“l⊥m”是“l⊥α”成立的必要不充分条件．
答案：必要不充分
2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝a，AA1＝2，四面体A-CB1D1
的体积为6，则a＝________.
解析：如图，VA-CB1D1＝VABCD-A1B1C1D1－VA-A1B1D1－VB1-ABC－
VD1-ADC－VC-B1C1D1＝2a2－a2＝a2＝6，所以a＝3.
答案：3
3．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题： ①若a⊥b，a⊥α，则b∥α； ②若a⊥β，α⊥β，则a∥α； ③若a∥α，a⊥β，则α⊥β； ④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β. 其中正确命题的序号是________．
解析：①中b可能在平面α内；②中a可能在平面α内；③中因为a∥α，a⊥β，所以α内必存在一条直线b与a平行，从而得到b⊥β，所以α⊥β，故③正确；因为a⊥b，a⊥α，所以b∥α或b?α，故α内必有一条直线c与b平行，又b⊥β，所以c⊥β，故α⊥β，所以④正确．
答案：③④
4.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1＝1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为________．
解析：因为AA1⊥平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，所以AA1⊥AB1，又知
4323
AA1＝1，A1B1＝2，所以AB1＝22－12＝3，同理可得AC1＝3，又知在△
AB1C1中，B1C1＝2，所以△AB1C1的边B1C1上的高为h＝3－1＝2，其面积S＝×2×2＝2，
12
于是三棱锥A-A1B1C1的体积VA-A1B1C1＝VA1-AB1C1＝×S△AB1C1×AA1＝，进而可得此三棱
33柱ABC-A1B1C1的体积V＝3VA-A1B1C1＝3×2
＝2. 3
12
答案：2
B组——方法技巧练
1．设P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝1，PC＝2，则球O的表面积是________．
解析：设球O的半径为R.由PA，PB，PC两两垂直，所以外接球的直径是以PA，PB，PC为棱的长方体的体对角线，即4R＝PA＋PB＋PC＝1＋1＋4＝6，故S球表面积＝4πR＝6π.
答案：6π
2．在空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c； ③若a∥γ，b∥γ，则a∥b； ④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b. 其中真命题的序号为________．
解析：根据公理知平行于同一条直线的两条直线互相平行，①正确；根据线面垂直性质定理知“同垂直一个平面的两条直线平行”，知④正确；②③均不恒成立．故选①④.
答案：①④
3.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若各条棱长均为2，且M为A1C1的中点，则三棱锥
2
2
2
2
2
M-AB1C的体积是________．
解析：法一：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，从而AA1
⊥B1M.又因为B1M是正三角形A1B1C1的中线，所以B1M⊥A1C1，所以B1M⊥1?111?平面ACC1A1，则VM-AB1C＝VB1-ACM＝?AC×AA1?×B1M＝××2×2×33?232?23
＝.
3
1
法二： VM-AB1C＝VABC-A1B1C1－VA-A1B1M－VC-C1B1M－VB1-ABC＝×2×
223?11?1
2×?××3×2?－×3×2＝. 3?32?3
23
答案：
3
4.如图，平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB3
＝1，AD＝2，∠ADC＝60°，AF＝.
2
(1)求证：AC⊥BF；
(2)求多面体ABCDEF的体积．
解：(1)证明：∵AB＝1，AD＝2，∠ADC＝60°，
1222
由余弦定理：AC＝CD＋AD－2CD·AD·cos 60°＝1＋4－2×1×2×＝3，
2
3×2－
于是AD＝CD＋AC，∴∠ACD＝90°， ∵AB∥CD，∴AC⊥AB.
又∵四边形ACEF是矩形，∴FA⊥AC， 又AF∩AB＝A，∴AC⊥平面AFB， 又BF?平面AFB，∴AC⊥BF. (2)令多面体ABCDEF的体积为V，
222
V＝VD-ACEF＋VB-ACEF＝2VD-ACEF，
又∵平面ABCD⊥平面ACEF，DC⊥AC， 根据两平面垂直的性质定理：DC⊥平面ACEF， ∴DC为四棱锥D-ACEF的高，
S矩形ACEF＝×3＝3233
， 2
1333
∴VD-ACEF＝××1＝，
322
∴V＝2VD-ACEF＝3，即多面体ABCDEF的体积为3.
5.如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC. (1)求证：平面AEC⊥平面ABE；
(2)点F在BE上，若DE∥平面ACF，求 的值． 解：(1)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥BC.
因为平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面
BFBEBCE.
因为EC?平面BCE，所以EC⊥AB.
因为EC⊥BE，AB?平面ABE，BE?平面ABE，AB∩BE＝B，所以EC⊥平面ABE. 因为EC?平面AEC，所以平面AEC⊥平面ABE. (2) 连结BD交AC于点O，连结OF.
因为DE∥平面ACF，DE?平面BDE，平面ACF∩平面BDE＝OF，所以DE∥OF.
又因为矩形ABCD中，O为BD的中点，所以F为BE的中点，即1＝. 2
C组——创新应用练
1．下列命题：
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，直线a在平面α内，则l∥a；
BFBE②若直线a在平面α外，则a∥α； ③若直线a∥b，直线b?α，则a∥α；
④若直线a∥b，b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线． 其中真命题的个数为________．
解析：对于①，∵直线l虽与平面α内的无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于a，∴①是假命题；
对于②，∵直线a在平面α外，包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴②是假命题； 对于③，∵a∥b，直线b?α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，∴③是假命题；
对于④，∵a∥b，b?α，那么a?α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行，∴④是真命题.
答案：1
2.如图，已知AB为圆O的直径，C为圆上一动点，PA⊥圆O所在的平面，且PA＝AB＝2，过点A作平面α⊥PB，分别交PB，PC于E，F，当三棱锥P-AEF的体积最大时，tan∠BAC＝________.
解析：∵PB⊥平面AEF，∴AF⊥PB. 又AC⊥BC，AP⊥BC，∴BC⊥平面PAC， ∴AF⊥BC，∴AF⊥平面PBC，∴∠AFE＝90°. 设∠BAC＝θ，在Rt△PAC中，
AP·AC2×2cos θ2cos θAF＝＝＝， 22
PC21＋cos θ1＋cos θ
在Rt△PAB中，AE＝PE＝2，∴EF＝AE－AF， 112∴VP-AEF＝AF·EF·PE＝AF·2－AF·2
66＝
2224
·2AF－AF＝·－66
22AF2－1
2
＋1≤
2
，∴当AF＝1时，VP-AEF取得最大值6
2
，∴tan θ＝2. 3
22cos θ1，此时AF＝＝1，∴cos θ＝，sin θ＝261＋cos θ3
答案：2
3.如图所示，等腰△ABC的底边AB＝66，高CD＝3，点E是线段
BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE＝x，V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积，则V(x)的最大值为________．
解析：因为PE⊥EF，PE⊥AE，EF∩AE＝E，