发布时间 : 星期一 文章谈高中教材中的“向量”内容更新完毕开始阅读806ce7b81a37f111f1855b07
立体几何主要研究直线、平面的位置关系如平行、垂直等，而这些都可以通过向量的运算去讨论。
例7 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，G，E，F分别是AA1，AB，BC的中点，试求平面
GEF与平面ABCD所成二面角的平面角。 z D1 C1 解 建立直角坐标系如图7，
令立正方体棱长为a,
A1 aaaB1 则G(0,0,),E(,0,0),F(a,,0),
22aaaa∴FG?(?a,?,),GE?(,0,?).
2222G 设平面ABCD的法向量是n1， 平面FGE的法向量是n2，
A 2D y C F E B x 显然n1=（0,0,a） （图7） 设平面GEF与平面ABCD 所成的二面角的平面角是α，cos??n1?n2n1?n2?(0,0,a)?(a,?a,a)3a2?3, 3又由图形知，α为锐角，∴cos??33???arccos, 33D1 C 1 A 1 ∴所求二面角的平面角为arccos例8
3. 3B 1 E D A B 如下图8，平行六面体ABCD—A1B1C1D的底面 是菱形，?C1CB??C1CD??BCD?60.
?
C （1） 证明：BD⊥CC1；
（2） 若点E是AB1的1中点，证明D1E∥面BDC1 ；
8） （3） 若CD=2，C1C=32，求二面角C1—BD—C的大小。（图
证明 （1）因 为
CC1?BD?CC1?(CD?CB)?CC1?CD?CC1?CB?CC1?CD?cosCC1,CD?CC1?CB?cosCC1,CB又
因
为
ABCD
是
菱
形
且
?C1CD??C1CB?60?,
∴CB?CD，且CC1,CD?CC1,CB?60?， ∴CC1?BD?0，有CC1⊥BD，得BD⊥C1C. （
2
）
由
题
设
，
点
E
为
??AB1的中点，则
1(B1B?BA)2
111?CB?CD?(CC1?CD)?CB?CD?C1C.222D1E?D1A1?A1B1?B1E?CB?CD?∴CB?CC1?BC1,CD?CB?BD?CC1?BC1?BD, ∴D1E??11BC1?BD. 22∵BC1与BD不共线，∴D1E与BC1，BD共面。 又
D1E?面BDC1，∴D1E∥面BDC1。
（1） 设AC?BD?O,则点O为BD中点， ∵
?BCD为等边三角形，则OC⊥BD，
又∴C1D⊥BD，从而?C1OC是二面角C?BD?C1的平面角。 ∵ABCD为菱形，?BCD?60?,CD?2,∴CO?3.
C1O2?C1O2?(C1O?CD?DO)2?939?4?1?2??2cos120??2?2cos120??,424C1C2?CD2?DO2?2C1C?CD?2CD?DO?2CC1?DO? ∴C1O?3. 2C1O2?OC2?CC123∴cosOC,OC1??. 2C1O?OC33、向量与三角：向量在三角中的应用都与向量的数量积的运算有关。 例9 求值cos5??cos77??cos149??cos221??293?.
解 作一个正五边形ABCDE，边长为1，
且AB与x轴的夹角为5?（如图9）。
D E B （图9） x C 由于AB?BC?CD?DE?EA?0， 其在x轴上的投影亦为0，
注意到各向量与x轴的夹角分别为5?,77?,149?,221?,293?, 令x轴上的单位向量为e，
则e?(AB?BC?CD?DE?EA)?0e?(AB?BC?CD?DE?EA)?0
∴cos5??cos77??cos149??cos221??cos293??0.
4、向量与等式、不等式的证明：
通过构造向量，利用向量不等式m?n?|m|?|n|可轻松证明很多等式、不等式。 例10 设(x2?y2?z2)?(a2?b2?c2)?(ax?by?cx)2(abc?0), 求证：
xyz??. abc证明： 若x?y?z?0，结论显然。
若x,y,z不全为0，构造向量p=(x，y，z), q=(a，b，c),并设
cos??ax?by?czx?y?z?a?b?c222222.
2由已知条件得cos??1，∴??0或???，即p∥q，∴p=λq（λ为实数）。
即(x，y，z)= λ(a，b，c)，∴
xyz??. abcx2?a2?(c?x)2?b2的最小值。
例11 已知a，b，c为正数，求y?解 构造向量p=(x，a), q=(c-x，b),则函数 y=|p|+|q|，
|p|+|q|?p?q?c?(a?b),等号当且仅当p∥q时成立， ∴ymin?22c2?(a?b)2.
5、 量与求函数最值：
适当构造向量，可使一类函数最值问题的思路清晰， 解题方法巧妙，并定于规律性、趣味性。
定理 m，n为两个向量m2?(m?n)2n2.，则
证明 设两向量的夹角为θ，则m2?m?nn222?mncos2?n222?(m?n)2n2,
证毕。[5]
x2y2??1上，求2x?y最大值。 例12 已知点P（x，y）在椭圆49解 构造m?(,),n?(4,?3),依定理，
2x2y2(m?n)2(2x?y)2(2x?y)2??m??2?, 知1?2249254?(?3)nxy23 即(2x?y)2?25,故2x?y的最大值是5。
,a?1,b?1,则1?lga?1?lgb的最大值是 。 例13 已知ab?1000 （第13届“希望杯”全国数学邀请赛高二培训题） 解 构造m?(1?lga,1?lgb), n?(1,1),依定理，则
??2(1?lga?1?lgb)215?2?lg1000?2?lgab?(1?lga)?(1?lgb)?m??(1?lga?1?lgb)21?12 于是，1?lga?1?lgb?10知其最大值是10.
参考文献：
[1]《全日制普通高级中学数学教学大纲》,人民教育出版社2002年4月第1版
[2]《全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）第一册（下）》,人民教育出版社2003 [3]《全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）第二册（下）》,人民教育出版社2003 [4]王列惠,《谈高中数学中增加“向量”内容》,《数学通讯》,1998年第12期 [5]李建新、孙建斌,《构造向量求函数最值》,《中学数学月刊》,2003年第3期 [6]汪尊国、吕听听,《向量复习的实践与思考》,《 中学数学月刊》,2003年第4期 [7]张雄、李得虎,《数学方法论与解题研究》,高等教育出版,2003年8月第1版