发布时间 : 星期六 文章备战高考数学一轮复习（热点难点）专题62 巧妙分类灵活分步解决排列组合问题 理更新完毕开始阅读80d60d4ebcd5b9f3f90f76c66137ee06eef94e4a
先整体后局部：“小集团”排列问题中先整体后局部
定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法;正难则反，等价转化的方法 类型三、解决组合问题常用方法
例6【2017届重庆市第八中学高三高考适应性月考（七）】某学校开设校本选修课，其中人文类4门
A1,A2,A3,A4，自然类3门B1,B2,B3，其中A1与B1上课时间一致，其余均不冲突.一位同学共选3门，
若要求每类课程中至少选一门，则该同学共有__________种选课方式．（用数字填空） 【答案】25
例7、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队． (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ (2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？ 解析 (1)共有C18＝816(种)．(2)共有C18＝8 568(种)．
(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有C2C18＋C18＝6 936(种)．
(4)(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C20－(C12＋C8)＝14 656(种)．
点评：两类组合问题的解法
(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
类型四、排列与组合的综合问题
分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象. 1、整体均匀分配
例8、国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到
5
5
5
5
14
3
3
5
相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有_____种不同的分派方法．
C6C4C23
解析：先把6个毕业生平均分成3组，有3种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A3＝6种方
A3C6C4C23
法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有3·A3＝90种分派方法．
A32、部分均匀分配
例9【2017届江西省新余市第一中学高考全真模拟】某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“演讲团”、“吉他协会”等五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中没有人参加“演讲团”的不同参加方法数为（ ） A. 3600 B. 1080 C. 1440 D. 2520 【答案】C
222222
3、不等分配
例10【2017届福建省莆田第六中学二模】学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是 （ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 42 【答案】D
点评：解决分组分配问题的策略
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1．对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以An(n为均分的组数)，避免重复计数．
2．对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．
3．对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
方法、规律归纳:
1、解排列组合综合应用问题的思路：
解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手．“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决. 2．排列问题与组合问题的识别方法：
若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关 若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关 3、解排列组合题的“24字方针，12个技巧”：
(1)“二十四字”方针是解排列组合题的基本规律：即排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加、分步为乘．
(2)“十二”个技巧是速解排列组合题的捷径．即：
①相邻问题捆绑法； ②不相邻问题插空法； ③多排问题单排法； ④定序问题倍缩法； ⑤定位问题优先法； ⑥有序分配问题分步法； ⑦多元问题分类法； ⑧交叉问题集合法； ⑨至少(多)问题间接法； ⑩选排问题先取后排法；?局部与整体问题排除法；?复杂问题转化法． 实战演练:
1.【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三上期中】某校的A、B、C、D四位同学准备从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课至少有一人选修，且A,B不选修同一门课，则不同的选法有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 30种 D. 66种 【答案】C
2【解析】先从4人中选出2人作为1个整体有C4?6种选法，减去A、B在同一组还有5种选法，再选333门课程有A3种选法，利用分步计数原理有5A3?30种不同选法.选C.
n2.【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有（ ）
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A. 250个 B. 249个 C. 48个 D. 24个 【答案】C
3．【2017届重庆市第一中学高三下第二次月考】将大小形状相同的3个黄球和5个黑球放入如图所示的
的十宫格中，每格至多放一个，要求相邻方格的小球不同色（有公共边的两个方格为相邻），如果同色球不加以区分，则所有不同的放法种数为（ ） A.
B. 36 C. 24 D. 20
【答案】D
【解析】如图，设黄球、黑球分别是a,b，则在十宫格中的排放格式分别有如下两种：
，
而每一种情形均有2?5?10种情形，故所有不同的排法种数为2?10?20，应选答案D.
4.【2018届内蒙古包钢第一中学高三适应性考试（一）】把5名师范大学的毕业生分配到A、B、C三所学校，每所学校至少一人。其中学数学的两人，学语文的两人，学英语的一人，若A校不招收同一学科的毕业生，则不同的分配方法共有( )
A. 148种 B. 132种 C. 126种 D. 84种 【答案】C
5.【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
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