发布时间 : 星期一 文章高考数学二轮复习第一部分专题六算法、复数、推理与证明、概率与统计第三讲概率教案更新完毕开始阅读810938144128915f804d2b160b4e767f5bcf805b
解析：设银行的营业时间为x，甲去银行的时间为y，以横坐标表示银行的营业时间，纵坐标表示甲去银行的时间，建立平面直角坐标系(如图)，则事件“甲去银行恰好能办理业务”表示的
4×84
平面区域如图中阴影部分所示，故所求概率P＝＝.
5×85
4
答案：
5 [误区警示]
几何概型的判断关键是注意事件发生的种数具有无限性、等可能性，否则不为几何概型，同时
要注意分清是面积型、长度型，还是角度型．
古典概型
[方法结论]
古典概型的两个基本特征：
(1)基本事件的有限性、等可能性．
(2)其事件的概率为P(A)＝m中所含的基本事件数A事件 ＝.n试验的基本事件总数
[题组突破]
1．(2017·天津六校联考)连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量(m，n)与向量(－1,1)的夹
角θ＞90°的概率是( )
7
B.
121 D.
2
A.512
1C. 3
解析：连掷两次骰子得到的点数(m，n)的所有基本事件为(1,1)，(1,2)，…，(6,6)，共36
个．
∵(m，n)·(－1，1)＝－m＋n＜0，∴m＞n.符合要求的事件为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，
155
(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共15个，∴P＝＝.3612
答案：A
2．(2017·哈尔滨模拟)某市甲、乙两社区联合举行“五一”文艺汇演，甲、乙两社区各有跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目，其中甲社区表演队中表演跳舞的有1人，表演笛子演奏的
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有2人，表演唱歌的有3人．
(1)若从甲、乙社区各选一个表演项目，求选出的两个表演项目相同的概率； (2)若从甲社区表演队中选2人表演节目，求至少有一位表演笛子演奏的概率．
解析：(1)记甲社区跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目分别为A1、B1、C1，乙社区跳舞、笛子
演奏、唱歌三个表演项目分别为A2、B2、C2，
则从甲、乙社区各选一个表演项目的所有基本事件有(A1，A2)，(A1，B2)，(A1，C2)，(B1，A2)，
(B1，B2)，(B1，C2)，(C1，A2)，(C1，B2)，(C1，C2)，共9个．
其中选出的两个表演项目相同这一事件包含的基本事件有(A1，A2)，(B1，B2)，(C1，C2)，共3
个，
31
所以所求概率P1＝＝.
93
(2)记甲社区表演队中表演跳舞的1人为a1，表演笛子演奏的2人分别为b1、b2，
表演唱歌的3人分别为c1、c2、c3，
则从甲社区表演队中选2人的所有基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a1，
c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，
c3)，(c2，c3)，共15个．
其中至少有一位表演笛子演奏这一事件包含的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(b1，b2)，(b1，93
c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共9个，所以所求概率P2＝＝.155
[误区警示]
对于较复杂的古典概型问题，若直接求解比较困难，可利用逆向思维，先求其对立事件的概
率，进而可得所求事件的概率．
概率与统计的交汇综合问题
概率考点是近几年高考的热点之一，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型等知识，近几年高考对概率的考查由单一型向知识交汇型转化，且多为古典概型与茎叶图、频率分布直方图、回归分析、独立性检验等交汇考查． 交汇点一 古典概型与用样本估计总体交汇考查
[典例1] (2017·成都模拟)某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70,85)内，记为B等；分数在[60,70)内，记为C等；60分以下，记为D等，同时认定A，B，C等为合格，D等为不合格，已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50,100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出甲校样本的频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．
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图1 图2
(1)求图中x的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率；
(2)在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取2名学生进行调研，求抽出的2名
学生中至少有1名学生成绩等级为D的概率．
解析：(1)由题意，可知10x＋0.012×10＋0.056×10＋0.018×10＋0.010×10＝1，∴x＝
0.004，
∴甲学校的合格率为(1－10×0.004)×100%＝0.96×100%＝96%.
2
而乙学校的合格率为(1－)×100%＝0.96×100%＝96%.
50
∴甲、乙两校的合格率均为96%.
(2)由题意，将乙校的样本中成绩等级为C，D的6名学生分别记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，则随机抽取2名学生的基本事件有{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，
C3}，{C2，C4}，{C2，D1}，{C2，D2}，{C3，C4}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共15个基本事件．其中“至少有1名学生成绩等级为D”包含{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，
D1}，{C2，D2}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共9个基本事件．
93
∴抽取的2名学生中至少有1名学生成绩等级为D的概率为P＝＝.
155
[类题通法]
求解古典概型与用样本估计总体交汇问题的模型
(1)识图：即能读懂已知频率分布直方图或茎叶图所隐含的信息并进行信息提取．
(2)转化：即对文字语言较多的题，需要根据题目信息耐心阅读，步步实现文字语言与符号语言
间的转化．
(3)计算：即对频率分布直方图或茎叶图所反馈的信息进行提取，并结合古典概型的概率公式进
行运算．
[演练冲关]
1．(2017·湘中名校联考)某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示，该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以
x(单位：盒，100≤x≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y(单位：元)表示这个开学季内经
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典例2] 销该产品的利润．
(1)根据频率分布直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和平均数；
(2)将y表示为x的函数；
(3)根据频率分布直方图估计利润y不少于4 800元的概率．
解析：(1)由频率分布直方图得：最大需求量为150盒的频率为0.015×20＝0.3.
这个开学季内市场需求量x的众数估计值是150. 需求量为[100,120)的频率为0.005×20＝0.1， 需求量为[120,140)的频率为0.01×20＝0.2， 需求量为[140,160)的频率为0.015×20 ＝0.3， 需求量为[160,180)的频率为0.012 5×20 ＝0. 25， 需求量为[180,200]的频率为0.007 5×20＝0.15.
则平均数x＝ 110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153.
(2)因为每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元，
所以当100≤x≤160时，y＝50x－30×(160－x)＝80x－4 800，
当160＜x≤200时，y＝160×50＝8 000，
所以y＝???
80x－4 800，100≤x≤160
?8 000，160＜x≤200x∈N)．
?
( (3)因为利润不少于4 800元，所以80x－4 800≥4 800，
解得x≥120.
所以由(1)知利润不少于4 800元的概率P＝1－0.1＝0.9.
交汇点二 古典概型与独立性检验的交汇
)某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影
响”，部分统计数据如下表：
使用智能不使用智能手合计 手机人数 机人数 学习成绩优秀人数 4 8 12 学习成绩不优秀人数 16 2 18 - 8 - / 11
[(2017·长沙模拟