发布时间 : 星期三 文章恒定磁场竞赛练习更新完毕开始阅读812367a8856a561252d36f43
6-3 一塑料薄圆盘，半径为R，电荷q均匀分布于表面，圆盘绕通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度为?，求：
（1）在圆盘中心处的磁感应强度。 （2）圆盘的磁矩。
分析 电荷运动形成电流，带电圆盘绕中心轴转动，相当于形成不同半径的圆形电流。 解 如图所示，在圆盘上取一半径为r，宽为dr的细环，它所带的电量为
dq???2πrdr，??q，圆盘转动时，与细环相当的圆形电流的电流强度为dI，则2πRdI?dq??dq???rdr。 T2π（1）O点的磁感应强度B为各半径不同细环电流产生的磁感应强度dB的矢量和，此题中各dB方向相同，均垂直纸面向外，因此
B??dB???0dI2r???0??rdr2r??02??R??0?q2πR
方向垂直纸面向外。
（2）根据电流磁矩的定义，与细环电流相对应的磁矩dPm为
dPm?S?dI?πr2??rdr
各细环电流的磁矩方向相同，因此总磁矩Pm为
11Pm??dPm??π??r3dr?π??R4??qR2
044R方向垂直纸面向外。
说明 圆盘中心处的磁感应强度也可用运动电荷的磁场B?dB?计算。
6-4 如图（a）所示，在半径为R的长直圆柱导体中，电流沿轴向方向，且在截面上
??4π?0dqv?rr3来
的分布是均匀的，求：
（1）磁场的分布。
（2）oabc面积内的磁通量。
分析 本题磁场可看成是“无限长”圆柱形电流产生的磁场，由于电流分布具有轴对称性，所以磁场具有轴对称性，利用安培环路定理可以求得B的分布，进而求出给定面的磁通量。
解 选择以中心轴上一点为圆心，r为半径，位于垂直于轴线的平面内的圆周作为积分环路L，则有
5
?B?dl???IL0ii
0?r?R时
所以
I2B?dl?B2πr??(?πr) 0内内2?LπR?I B内?02r
2πRB外?2πr??0I
r?R时
所以
B外??0I2πr(R?r)
（2）如图（a）所示，通过oabc的磁通量为
?m??B内?dS??B外?dS
S1S2
2πR?I?IR?0R?0ln2 4π2π?IR?0(1?2ln2)
4π0R??R?0I2rRdr??2R?0I2πrRdr
说明 若oabc不是平面，而是一个曲面，如图（b）所示（垂直于轴的截面图），曲面的oc和ba两边与题设的这两边相同，则它的磁通量与以上计算结果相同。
6-5 两彼此绝缘的无限长且具有缺口的圆柱形导线的横截面如图（a）中阴影部分所示。它们的半径同为R，两圆心的距离o1o2?1.60R，沿轴向反向通以相同大小的电流，强度为I，求在它们所包围的缺口空间C中的磁感应强度。
分析 显然此电流并不是轴对称分布的，所以不能直接用安培环路定理求解，原则上可用磁场叠加原理计算，但数学处理上很困难。此题用补偿法可以使问题迎刃而解。
解 如图（b）所示，假定C中也流有与导线中的电流密度相同的一正一反正好抵消的电流，并令导线中的电流密度为i，则两导线在C中任一点A处分别产生的磁感应强度为
B1?B2??0iπr122πr1???0i2r1 r2
?0iπr222πr2?0i2 6
其中r1、r2分别为A到两导线横截面的两圆心的距离。 总磁感应强度
B?B1?B2
Bx?B1x?B2x??B1sin?1?B2sin?2
1 ??0i(r2sin?2?r1sin?1)?0
2By?B1y?B2y?B1cos?1?B2cos?2
投影
1?0i(r1co?s1?r2co?s2) 21 ??0i(1.6R)?0.8?0iR
2 ?而i?I/S，其中S为一根导线的横截面积。
由图（b）可知
?1
S?πR2?2[πR2?/π??12R?sin2?] 2又??cos0.8?36.87?0.6435rad，sin??0.6 所以
S?R2[π?2??2?0.8?0.6]?2.81R2 i?I/(2.81R2)，B?By?0.281?0I/R
从计算结果可以看出，缺口空间C中的磁感应强度各处是相同的，与所选点的位置无关。
说明 补偿法不仅在电磁学中是很有用的，而且在物理学的其它部分和工程技术中都是常见的。灵活应用它，可达到化难为易，事半功倍的效果。
6-6 任意形状的一段导线acb与直导线ba构成一平面闭合回路，如图（a）所示。导线中通有电流I，放在与匀强磁场B垂直的平面内。试求该闭合导线所受的磁力。
分析 求载流导线在磁场中所受力的问题，可由安培力公式直接求解。
解 取如图（b）所示坐标系。先计算导线acb上任一电流元所受力dF，由安培定理知
dF?Idl?B
dFx?dFsin??IBdlsin??IBdy dFy?dFcos??IBdlcos??IBdx
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其大小dF?IdlB，方向如图所示。它的X和Y分量
导线在X方向和Y方向所受的合力
Fx??dFx??IBdy?0
00Fy??dFy??IBdx?IBab
0ab所以得到任意形状导线acb所受的磁力
F?Fy?IBab
方向垂直ab向上，即
Facb?IBabj
由此可看出，任意形状导线acb在该磁场中所受的力等于a和b间载有同样电流的直导线ab所受的力。
由安培定理可知ba导线所受磁场力为
Fba??IBabj
所以
?F?Facb?Fba?0
说明 这一结论对任意形状的平面载流线圈成立，即任意形状的平面载流线圈在均匀
磁场中所受的安培力为零。实际上此题由数学运算可直接得出结果。
?F??dF??Idl?B?I(?dl)?B?0
LLL6-7 磁秤，装置如图所示，它是一个测定载流导线所受磁场作用力的天平。在天平的一臂下面挂有一矩形线圈，设矩形线圈宽为a，长为l，共有N匝，线圈下端放在待测的均匀磁场中，且与B垂直。在线圈未通入电流时，先调节天平使其平衡，然后在线圈中通入准确知道的电流I，电流的方向如图所示，这时在天平的右盘中加入砝码m使天平达到平衡，求待测磁场的磁感应强度B的大小。
分析 载流导线处于磁场中会受磁力的作用，作用在矩形线圈两侧的磁力，因为大小相等，方向相反，所以相互抵消。仅下面一边受向上力的作用，天平平衡时，这个力与砝码m的重量相等。
解 由安培力公式可求出线圈底边上所受到的磁力F，F的方向向上，大小为
F?NIaB NIaB?mg
天平平衡时，应有
由此求得待测的磁感应强度B的大小为
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