发布时间 : 星期三 文章2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第二期) 专题40 动态问题(含解析)更新完毕开始阅读814a81aae3bd960590c69ec3d5bbfd0a7856d57f
2. （2019?江苏宿迁?12分）如图，抛物线y＝x+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标； （3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
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【分析】（1）把点A、C坐标代入抛物线解析式即求得b、c的值．
（2）点P可以在x轴上方或下方，需分类讨论．①若点P在x轴下方，延长AP到H，使AH＝AB构造等腰△ABH，作BH中点G，即有∠PAB＝2∠BAG＝2∠ACO，利用∠ACO的三角函数值，求BG、BH的长，进而求得H的坐标，求得直线AH的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P坐标．②若点P在x轴上方，根据对称性，AP一定经过点H关于x轴的对称点H'，求得直线AH'的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P坐标． （3）设点Q横坐标为t，用t表示直线AQ、BN的解析式，把x＝﹣1分别代入即求得点M、N的纵坐标，再求DM、DN的长，即得到DM+DN为定值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x+bx+c经过点A（1，0），C（0，﹣3） ∴
解得：
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∴抛物线的函数表达式为y＝x+2x﹣3
（2）①若点P在x轴下方，如图1，
延长AP到H，使AH＝AB，过点B作BI⊥x轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HI⊥BI于点I ∵当x+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1
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∴B（﹣3，0）
∵A（1，0），C（0，﹣3） ∴OA＝1，OC＝3，AC＝∴Rt△AOC中，sin∠ACO＝∵AB＝AH，G为BH中点 ∴AG⊥BH，BG＝GH
∴∠BAG＝∠HAG，即∠PAB＝2∠BAG ∵∠PAB＝2∠ACO ∴∠BAG＝∠ACO
∴Rt△ABG中，∠AGB＝90°，sin∠BAG＝∴BG＝
AB＝
，AB＝4 ，cos∠ACO＝
∴BH＝2BG＝
∵∠HBI+∠ABG＝∠ABG+∠BAG＝90° ∴∠HBI＝∠BAG＝∠ACO
∴Rt△BHI中，∠BIH＝90°，sin∠HBI＝∴HI＝
BH＝，BI＝
，yH＝﹣
BH＝
，﹣
） ，cos∠HBI＝
∴xH＝﹣3+＝﹣
，即H（﹣
设直线AH解析式为y＝kx+a
∴ 解得：
∴直线AH：y＝x﹣
∵ 解得：（即点A），
∴P（﹣，﹣）
②若点P在x轴上方，如图2，
在AP上截取AH'＝AH，则H'与H关于x轴对称 ∴H'（﹣
，
）
设直线AH'解析式为y＝k'x+a'
∴ 解得：
∴直线AH'：y＝﹣x+
∵ 解得：（即点A），
∴P（﹣，）
）或（﹣
，
）．
综上所述，点P的坐标为（﹣，﹣
（3）DM+DN为定值
∵抛物线y＝x+2x﹣3的对称轴为：直线x＝﹣1 ∴D（﹣1，0），xM＝xN＝﹣1 设Q（t，t+2t﹣3）（﹣3＜t＜1） 设直线AQ解析式为y＝dx+e ∴
解得：
2
2
∴直线AQ：y＝（t+3）x﹣t﹣3
当x＝﹣1时，yM＝﹣t﹣3﹣t﹣3＝﹣2t﹣6 ∴DM＝0﹣（﹣2t﹣6）＝2t+6 设直线BQ解析式为y＝mx+n ∴
解得：
∴直线BQ：y＝（t﹣1）x+3t﹣3 当x＝﹣1时，yN＝﹣t+1+3t﹣3＝2t﹣2 ∴DN＝0﹣（2t﹣2）＝﹣2t+2
∴DM+DN＝2t+6+（﹣2t+2）＝8，为定值．
【点评】本题考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用．第（2）题由于不确定点P位置需分类讨论；（2）（3）计算量较大，应认真理清线段之间的关系再进行计算．
3. （2019?江苏扬州?12分）问题呈现
如图，四边形ABCD是矩形，AB=20，BC=10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G=90°，点M在线段AB上，且AM=a，点P沿折线AD-DG运动，点Q沿折线BC-CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ∥AB.设PQ与AB之间的距离为x. （1）若a=12.
①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，
则x的值为____2_____；
②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；
（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围.