发布时间 : 星期六 文章概率论期末考试题型、知识点和公式复习更新完毕开始阅读81f69876ee06eff9aef80777
概率论期末复习知识点
第一章(A卷20分，B卷22分) 1. 事件的表式
2. 事件的关系与运算 3. 概率性质及其应用 4. 古典概型 5. 条件概率 6. 全概率公式 7. 贝叶斯公式
8. 事件的独立性 重点：条件概率，全概率公式，贝叶斯公式 第二章(A卷22分，B卷20分) 1. 离散型随机变量的概率分布 2. 两点分布 3. 二项分布 4. 泊松分布
5. 概率密度函数及其性质
6. 连续型随机变量的分布函数 7. 均匀分布 8. 指数分布
9. 标准正态分布、正态分布 10. 随机变量相关的概率计算
11. 离散型随机变量函数的概率分布
1正态分布，二项分布 重点：○
2离散型随机变量及函数的概率分布 ○
第三章(A卷23分，B卷20分)
1. 离散型随机向量联合概率分布及分布函数 2. 二维连续型随机向量的联合概率密度、性质
对偶律: A?B?AB ， AB?A?B ；概率的性质 1. P(?)=0；
2. A1,A2,…, An 两两互斥时：P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+…+P(An), 3.P(A)?1?P(A)(A是 A不发生)(D)
4.若A?B, 则有: P(A)≤ P(B)，P(AB) = P(A)，P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A∪B)=P(B). 5.P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)(D), P(B-A)=P(B)-P(AB)。
古典概率模型中，事件A的概率
A中包含基本事件数
P(A)?基本事件总数k从n件商品中取出k商品，共有Cn?及其应用
3. 二维连续型随机向量的分布函数 4. 均匀分布 5. 二维正态分布 6. 边缘概率密度 7. 随机变量的独立性
8. 二维随机向量的相关概率计算
1联合概率密度 重点：○
2边缘概率密度 ○
3随机变量的独立性 ○
第四章(A卷21分，B卷26分) 1. 离散型随机变量的期望 2. 连续型随机变量的期望 3. 随机变量函数的期望 4. 方差
5. 方差的性质
6. 协方差、协方差的性质 7. 相关系数
1数学期望重点：○（随机变量及函数的数学期望） 2方差（离散型随机变量的方差） ○
3协方差和相关系数 ○
第五章(A卷14分，B卷12分) 1. 雪比切夫不等式的应用
2. 棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理的应用
重点：棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理
概率论期末公式复习
n?n![即?]种取法[n!?n?(n?1)???2?1]。 ??k??k!(n?k)!??1
D1- P(B)>0，称下式为事件B发生条件下，事件A的条件概率
P(AB)P(A|B)? ,
P(B)乘法公式：若P(B)>0，则 P(AB)=P(B)P(A|B) ；若P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B|A)。 设A1, A2,…,An是两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An =Ω，且P(Ai)>0, i =1, 2,…, n; 另有一事件B, 它总是与A1, A2,…, An之一同时发生，则
全概率公式：P(B)??P(Ai)P(B｜Ai)
i?1n贝叶斯公式：P(A|B)?P(A i)P(B｜A i) , i?1, 2,?, n .(D1)
in?P(Aj)P(B｜Aj)j?1定义：称 A, B独立，如果P(AB)= P(A)P(B)(D)。
定理. 若事件A, B独立相互独立，则A与B、A与B、A与B也相互独立。 随机变量 X 的分布函数：F(x)= P(X≤x), -∞< x <∞。 性质：P(a1 D2- 定义 ：设离散型随机变量 X 所有可能取的值为x1,x2,?,且有 P(X?xk)?pk, k?1,2,? 。离散型随机变量X x1 x2 … p1 p2 … 则称p1 , p2, …为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。其中 p1 , p2, …满足 (1)pk?0, k?1,2,?; (2)?pk?1. 离散型随机变量的分布函数(累计频率)： x?x1?0?x1?x?x2p1?F(x)?P(X?x)??pk ??p?px?x?x ?1232xk?x????xn(?)?x??1n(?)i?1X p xn(∞) pn pk?F(xk)?F(xk?1)， k?1,2,?; (?)(?)2，E(X2)??n，D(X)?E(X2)?[E(X)]2(D2)。 E(X)??nk?1xkpkk?1xkpkD3- X ~ B(n, p)-参数为(n, p)的二项分布:用X 表示 n 重贝努里试验中事件A发生的次数，则： kkP(X?k)?Cnp(1?p)n?k, k?0, 1, ?, n(D3). E(X)?np，D(X)?np(1?p). X～P(λ)-参数为λ的泊松分布：p(k;?)?P(X?k)?e???kk!, k?0, 1, 2, ?.其中λ>0 是常数， E(X)??，D(X)??。 X为连续型随机变量：有密度函数f(x)?0 使：P(a1?X?b1)??f(x)dx , a1b?h(x)a?x?b设 f(x)??，密度函数的性质：?f(x) dx?1 或?h(x) dx?1 (D) ?a??其它?0 b1x?a?0x分布函数F(x)?P(X?x)? ???ah(t)dta?x?b ?1b?x?(常用到的不定积分公式： 2 xk?1e??xdx1x??x?xdx?,?edx??,?sinxdx??cosx,?2?arctg,?udv?uv??vdu等). 2k?1???x??k在 f (x)的连续点，有：F?(x)?f(x) . E(X)??xh(x) dx,E(X2)??x2h(x) dx,D(X)?E(X2)?[E(X)]2 aabbD4- X~N(?,?2)：参数为常数μ和σ>0的正态分布：密度函数为 f(x)??1e2??(x??)22?2,???x??,E(X)??，D(X)??2。 标准正态分布，记作X~N(0,1)，E(X)?0，D(X)?1： 1?x2/2密度函数：?(x)?e ， ???x?? ，2? x1?t2/2分布函数：?(x)??ed t (可查表得出).??2?X??若 X~N(?， ?2)，~N(0,1), ?b????b1???当 x?0 时，?(?x)?1??(x)(D) ?a???P{X?b}P{a1?X?b1}???4?.?1????1? .1????????????X～U(a, b)-均匀分布，密度函数： ?1?, a?x?b,E(X)?(a?b)/2，D(X)?(b?a)2/12. f(x)??b?a??0, 其他 .X ~E(λ)-参数为λ的指数分布, 密度函数： ?? e??x , x?0 ,f(x)?? (??0)，E(X)?1/?，D(X)?1/?2. ? 0 , x?0 .X1，X2独立，Xi~N(?i,?i2),i?1,2. aX1+bX2+c~N(aμ1+bμ2+c，a2σ12+b2σ22) E(aX+b)= aE(X)+b，D(aX+b)= a2D(X)，E(aX+bY+c)= aE(X)+ bE(X)+c， X，Y独立，D(aX+bY+c)= a2D(X)+b2D(X). 二维离散型随机变量(X,Y )： pij?P(X?xi,Y?yj)≥0，?n(?)j?1二维离散型随机变量(X,Y ) Y X x1 x2 … xm(∞) 边缘 y1 p11 p21 y2 p12 p22 ?m(?)i?1pij?1， … yn(∞) … … … … … p1n p2n 边缘 p1· p2· … pm(∞)· (?)(?)，p?j??impi???nj?pij， 1pij?1分布函数F(x,y)???pij X?xiY?yj… pm1 p·1 … pm2 p·2 … p·n(∞) pmn 独立：pij?pi?p?j,i?1,2,?.j?1,2,?。 (?)m(?)Z?g(X,Y),E(Z)??nj?g(xi,yj)pij 1?i?1Z?X,Y,XY,X2,Y2时,可计算：E(X)，E(Y)，E(XY)，E(X2)，E(Y2), Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)等。 独立→不相关：Cov(X,Y)?0，或E(XY)?E(X)E(Y)。 二维连续型随机变量(X,Y )密度函数 ?h(x,y)(x,y)?D1f(x,y)?? [均匀分布时，h(x,y)?，d为D的面积]， d其它?0D是矩形(含正方形)、全部区域、三角形(含大三角形)、圆盘、直线与抛物线所围区域等。 3 ?2(x)?2(y)??bdD5- 1???? ?????f(x,y)dxdy???h(x,y)dxdy??adx??1(x)h(x,y)dy(或??cdy??1(y)h(x,y)dx)D(a是区域D左边界的最小值，b是区域D右边界的最大值，ψ1(x)是区域D的下边界函数，ψ2(x)是区域D的上边界函数；c是区域D下边界的最小值，d是区域D上边界的最大值，φ1(x)是区域D的左边界函数，φ2(x)是区域D的右边界函数)。 P[(X,Y)?S]???f(x,y)dxdy???h(x,y)dxdy??( D∩S是矩形、三角形等) SD?S2(x)???a?x?b， ?1(x)h(x,y)dyf(x,y)dy??0x?a或x?b?fx(x)??????fy(y)??????2(y)???c?y?d ?1(y)h(x,y)dxf(x,y)dx??0y?c或y?d?(X,Y )独立：f(x,y)?fx(x)fy(y) (D5) ??D6?Z?g(X,Y),E(Z)?????????g(x,y)f(x,y)dxdy???g(x,y)h(x,y)dxdyD ??dx?ba?2(x)?1(x)g(x,y)h(x,y)dy(或??dy?dc?2(y)?1(y)g(x,y)h(x,y)dx)Z?X,Y,XY,X2,Y2时,可计算：E(X)，E(Y)，E(XY)，E(X2)，E(Y2). Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)，?xy?Cov(X,Y)/D(X)D(Y)(D6). D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y).D(X)?E(X2)?[E(X)]2,D(Y)?E(Y2)?[E(Y)]2. 独立→不相关：Cov(X,Y)?0，或E(XY)?E(X)E(Y)。 D(X)(ε≠0). E(X),D(X)存在，ε任意，切比雪夫不等式：P(X?E(X)??)?2?D7- X1，…,Xn独立, Xi服从0-1分布，p =P(X=1)，n充分大时，则 b?npa1?np(D) P(a1??in?1Xi?b1)??(1)??()7 np(1?p)np(1?p) 4