发布时间 : 星期日 文章2021届高考数学(理)一轮复习学案：第9章平面解析几何第5节椭圆第2课时直线与椭圆更新完毕开始阅读821b6dbe6a0203d8ce2f0066f5335a8103d26665
6x＝，??5→3→
设Q(x，y)，则由PQ＝QB，得?24
y＝－，??5
0
0
0
0
代入椭圆方程得b＝1， 所以椭圆E的方程为＋y＝1.
4
(2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为y＝kx－2.
2
x2
2
y＝kx－2，??2
联立?x2
＋y＝1，??4
消去y并整理得(1＋4k)x－16kx＋12＝0.(*)
因直线l与E有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，
2223
故Δ＝(－16k)－48(1＋4k)>0，解得k>.
4
22
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
16kx＋x＝，??1＋4k由根与系数的关系得?12
xx＝??1＋4k1
2
2
12
2
因坐标原点O位于以MN为直径的圆外， →→
所以OM·ON>0，即x1x2＋y1y2>0， 又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2) ＝(1＋k)x1x2－2k(x1＋x2)＋4
1216k2
＝(1＋k)·2－2k·2＋4>0，
1＋4k1＋4k322
解得k<4，综上可得 4则 33 2 则满足条件的斜率k的取值范围为 3??3?? ?－2，－?∪?，2?. 2??2?? 课外素养提升⑧ 数学运算——“设而不求”在解析几何中的妙用 “设而不求”是解析几何解题简化运算的一种重要手段，它的精彩在于通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，最大限度地减少运算；同时，“设而不 求”也是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用． 活用定义，转化坐标 x2y2 【例1】 在平面直角坐标系xOy中，双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为Fab的抛物线x＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________． 2 y＝±p2ppx [设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由抛物线定义可得|AF|＋|BF|＝yA＋＋yB＋＝222 4×?yA＋yB＝p， 2 ?xy由?2－2＝1，?ab2 2 x2＝2py2 可得ay－2pby＋ab＝0， 22222 2pb2 所以yA＋yB＝2＝p，解得a＝2b，故该双曲线的渐近线方程为y＝±x.] a2[评析] 设出点的坐标，先通过抛物线的定义，实现点的坐标与几何关系|AF|＋|BF|＝4|OF|的转换，然后借助根与系数的关系建立参数a，b的等量关系，达到设而不求，从而求得双曲线的渐近线方程． 【素养提升练习】 抛物线y＝4mx(m＞0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若|PF| 点A(－m,0)，则的最小值为________． |PA| 2 [设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，知|PF|＝xP＋m， 2 又|PA|＝(xP＋m)＋yP＝(xP＋m)＋4mxP， 2 2 2 22 xP＋m?|PF|?2＝ 则?＝?xP＋m2＋4mxP?|PA|? 取等号)， 2 1 4mxP1＋ xP＋m≥ 2 1＋ 14mxP2xP·m2 1 ＝(当且仅当xP＝m时2 |PF|2|PF|2所以≥，所以的最小值为.] |PA|2|PA|2 妙用“点差法”，构造斜率 x2y2 【例2】 已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A， abB两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的标准方程为( ) A. ＋＝1 4536 x2y2 B．＋＝1 3627 x2y2 C. ＋＝1 2718 x2y2 D．＋＝1 189 x2y2 D [设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ?? 则x＋x＝2，y＋y＝－2，?xy??a＋b＝1，② 1 2 1 2 2 22 222 x2y211 2＋2＝1，①ab ①－②得 x1＋x2 a2 x1－x2 ＋ y1＋y2 b2 y1－y2 ＝0， y1－y2b2x1＋x2b2 所以kAB＝＝－2＝2. x1－x2ay1＋y2a0＋11b1 又kAB＝＝，所以2＝. 3－12a2 又9＝c＝a－b，解得b＝9，a＝18， 所以椭圆E的方程为＋＝1.] 189 [评析] 该题目属于中点弦问题，可设出A，B两点的坐标，通过“点差法”，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题． 【素养提升练习】 1.抛物线E：y＝2x上存在两点关于直线y＝k(x－2)对称，则k的取值范围是________． (－2，2) [当k＝0时，显然成立． 当k≠0时，设两对称点为B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点为M(x0，y0)，由y1＝2x1， 2 2 2 2 2 2 2 2 x2y2 y1－y222y2两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，则直线BC的斜率kBC＝＝＝2＝2x2， x1－x2y1＋y22y0 11 ＝，由对称性知kBC＝－，点M在直线y＝k(x－2)上，所以y0＝－k，y0＝k(x0－2)，所以 y0k2 x0＝1.由点M在抛物线内，得y22 综上，k的取值范围为(－2，2)．] 2．已知双曲线x－＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且 2点P是线段AB的中点？ [解] 假设存在直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点． 2 y2 ??x－2＝1， 设A(x，y)，B(x，y)，易知x≠x，由?yx－??2＝1， 21 1 1 2 2 1 2 22 22 y21 两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－又 y1＋y2 2 y1－y2 ＝0， x1＋x2 2 ＝1， y1＋y2 2 ＝1，所以2(x1－x2)－(y1－y2)＝0，所以kAB＝ y1－y2 ＝2， x1－x2 故直线l的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. y＝2x－1，?? 由?2y2 x－＝1，?2? 消去y得2x－4x＋3＝0， 2 因为Δ＝16－24＝－8<0，方程无解，故不存在一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点． 巧引参数，整体代入 【例3】 已知椭圆＋y＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆 4于M，N两点． (1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标； (2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由． [解] (1)直线AM的斜率为1时，直线AM的方程为y＝x＋2，代入椭圆方程并化简得5x＋16x＋12＝0. 6?64?解得x1＝－2，x2＝－，所以M?－，?. 5?55? (2)设直线AM的斜率为k，直线AM的方程为y＝k(x＋2)， 2 x2 2 y＝kx＋2，??2 联立方程?x2 ＋y＝1，??4 2 2 2 22 化简得(1＋4k)x＋16kx＋16k－4＝0. －16k则xA＋xM＝2， 1＋4k－16k16k2－8kxM＝－xA－2＝2－2＝2. 1＋4k1＋4k1＋4k2k－8 同理，可得xN＝2. k＋4 22 2 2 ?6?由(1)知若存在定点，则此点必为P?－，0?. ?5? 证明如下：