发布时间 : 星期六 文章2020高考数学一轮复习第八章立体几何初步课时训练更新完毕开始阅读825d1a1c27fff705cc1755270722192e4436581d
2019年
【2019最新】精选高考数学一轮复习第八章立体几何初步课时训练
第1课时 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、 填空题
1. 线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是____________．(用符
号表示)
答案：AB?α
解析：由公理1可知AB?α.
2. 已知α∩β＝l，m? α，n? β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用
相应的符号表示为________．
答案：P∈l
解析：因为α∩β＝l，m? α，n? β，m∩n＝P，所以P∈m，P∈n，P∈α，
P∈β，所以P∈l.
3. 设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：
① 若a∥b，b∥c，则a∥c； ② 若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
③ 若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
④ 若a∥b，b⊥c，则a⊥c.
上述命题中正确的是________．(填序号)
答案：①④
解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故
②错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行或异面，故③错误；
根据异面直线所成角的定义知④正确．
4. 若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与
平面β的交线，则下列命题正确的是________．(填序号)
① l与l1，l2都不相交；② l与l1，l2都相交；③ l至多与l1，l2中的一条
相交；④ l至少与l1，l2中的一条相交．
答案：④
解析：若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，所以l1∥l2，这与l1和l2
是异面直线相矛盾，所以l至少与l1，l2中的一条相交．故④正确．
5. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别为B1O和C1O的中点，长方
体的各棱中，与EF平行的有__________条．
答案：4
解析：∵ EF是△OB1C1的中位线，∴ EF∥B1C1.∵ B1C1∥BC∥AD∥A1D1，∴
与EF平行的棱共有4条．
6. 如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正
方体中互为异面的有________对．
答案：3
解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD
与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．
2019年
7. 已知ABCDA1B1C1D1是正方体，点O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1
于点M，则下列结论中错误的是________．(填序号)
① A，M，C1三点共线； ② M，O，A1，A四点共面； ③ A，O，C，M四点共面； ④ B，B1，O，M四点共面．
答案：①④
解析：作出图形，可知②③正确．
8. 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1，则异面
直线AB1与BD所成的角为________．
答案：60°
解析：如图，取A1C1的中点E，连结B1E，ED，AE，在Rt△AB1E中，∠AB1E即
为所求，设AB＝1，则AA1＝，AB1＝，B1E＝，故∠AB1E＝60°.
9. 如图，点G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，
MN是异面直线的图形有________．(填序号)
答案：②④
解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M?平面GHN，因此
直线GH与MN异面；图③中，连结MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，
N共面，但H?平面GMN，因此GH与MN异面．所以图②④中GH与MN异面．
10. 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点M, N分别是BC1，CD1的中点，则
下列判断正确的是________．(填序号) ① MN与CC1垂直；② MN与AC垂直； ③ MN与BD平行；④ MN与A1B1平行．
答案：①②③
解析：连结B1C，B1D1，则MN是△B1CD1的中位线，
∴ MN∥B1D1.∵ CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴ MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥
BD，故①②③正确．
∵ A1B1与B1D1相交，
∴ MN与A1B1不平行，因此④错误．
二、 解答题
11. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，B1C1的中点，AC
∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
(1) 求证：D，B，E，F四点共面；
(2) 作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置．
(1) 证明：由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故必相交．设交点为O，则OC1＝C1C.同理直线DE与CC1也相交，设交点为O′，则O′C1＝C1C，故O′与O重
合．由此可证得DE∩BF＝O，故D，B，F，E四点共面(设为α)．
(2) 解：由于AA1∥CC1，所以A1，A，C，C1四点共面(设为β)．P∈BD，而BD?α，
故P∈α.
又P∈AC，而AC?β，所以P∈β，
所以P∈α∩β，同理可证得Q∈α∩β，所以有α∩β＝PQ.
2019年
因为A1C?β，
所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点，连结A1C，则A1C与PQ的交点
R就是所求的交点．
12. 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别为A1A ，C1C的中点，求
证：四边形EBFD1是菱形．
证明：如图，取B1B的中点G，连结GC1，EG，
∵ GB∥C1F，且GB＝C1F， ∴ 四边形C1FBG是平行四边形，
∴ FB∥C1G，且FB＝C1G. ∵ D1C1∥EG，且D1C1＝EG， ∴ 四边形D1C1GE为平行四边形，
∴ GC1∥D1E，且GC1＝D1E， ∴ FB∥D1E，且FB＝D1E， ∴ 四边形EBFD1为平行四边形． ∵ FB＝FD1，∴ 四边形EBFD1是菱形．
13. 已知空间四面体ABCD，点E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD
上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证： (1) E，F，G，H四点共面； (2) 三条直线FH，EG，AC共点． 证明：(1) 如图，连结EF，GH. ∵ 点E，F分别是AB，AD的中点，
∴ EF∥BD.
∵ CG＝BC，CH＝DC， ∴ GH∥BD，∴ EF∥GH， ∴ E，F，G，H四点共面．
(2) 易知FH与直线AC不平行，但共面，
∴ 设FH∩AC＝M，
∴ M∈平面EFHG，M∈平面ABC. ∵ 平面EFHG∩平面ABC＝EG，
∴ M∈EG，∴ 直线FH，EG，AC共点．第2课时 直线与平面的位置关系(1)
一、 填空题
1. 直线a，b为异面直线，关于过直线a 且与直线b平行的平面的情况，下列说
法正确的是________．(填序号)
① 有且只有一个；② 有无数多个；③ 至多一个；④ 不存在．
答案：①
解析：在直线a上任选一点A，过点A作b′∥b，则b′是唯一的，又a∩b′＝
A，所以a与b′确定一平面并且只有一个平面，故①正确． 2. 对于不同直线m，n和不同平面α，β，给出下列命题：
① ?m∥n；② ?n∥β； ③ ?m，n不共面；④ ?m∥n. 其中假命题的个数是__________．
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答案：4
解析：①中m与n可能平行，也可能异面；②中可能n?β；③中可能m∥n或m与n相交；④中不知道α与β的位置，无法判断m与n的位置关系．故四个命题
都不正确．
3. 若直线l与平面α不平行，则下列结论正确的是________．(填序号)① α内的所有直线都与直线l异面；② α内不存在与l平行的直线；③ α内
的直线与l都相交；④ 直线l与平面α有公共点．
答案：④
解析：直线l与平面α不平行，则直线l与平面α有如下关系：l?α或l∩α
＝A，故①②③均不正确，④正确．
4. 下列命题正确的是________．(填序号)
① 若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面； ② 若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行；
③ 若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b； ④ 若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b?α，则b∥α.
答案：④
解析：根据线面平行的判定与性质定理知，④正确．
5. 已知三条直线a，b，c和平面β，则下列推论正确的是________．(填序号)
① 若a∥b，b?β，则a∥β； ② 若a∥β，b∥β，则a∥b；
③ 若a?β，b∥β，a，b共面，则a∥b；
④ 若a⊥c，b⊥c，则a∥b.
答案：③
解析：对于①，可能有a?β，故①错；对于②，a与b可能平行、相交或异面，故②错；对于④，a与b可能平行、相交或异面，故④错；根据线面平行的性质定理
知，③正确．
6. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若
EF∥平面AB1C，则线段EF的长度为________．
答案：2
解析：因为EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以
EF∥AC.又点E是AD的中点，所以点F是DC的中点．所以EF＝AC＝.
7. 过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的
直线共有________条．
答案：6
解析： 四条棱AC，BC，A1C1，B1C1的中点中任意两点连线均与平面ABB1A1平
行，所以共有6条直线符合题意．
8. 如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱 的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是________．(填序号)
答案：②③④
解析：因为点M，N，Q分别为对应棱的中点，所以在①中AB与平面MNQ相交， 在②③中均有AB∥MQ，在④中，有AB∥NQ，所以在②③④中均有AB与平面MNQ平行．