发布时间 : 星期三 文章2020高考数学一轮复习第八章立体几何初步课时训练更新完毕开始阅读825d1a1c27fff705cc1755270722192e4436581d
2019年
∵ 在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC⊥侧面A A1B1B，交线为AB，又CD?平
面ABC，∴ CD⊥平面AA1B1B.
∵ AP?平面A1B1BA，∴ CD⊥AP. ∵ BB1＝BA，BB1＝AA1 ，BP＝BB1，
∴ ＝＝，
∴ Rt△ABP∽Rt△A1AD，∴ ∠AA1D＝∠BAP， ∴ ∠AA1D＋∠A1AP＝∠BAP＋∠A1AP＝90°，
∴ AP⊥A1D.
∵ CD∩A1D＝D，CD?平面A1CD，A1D?平面A1CD，
∴ AP⊥平面A1CD.
第4课时 平面与平面的位置关系
一、 填空题
1. 设α，β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：
① 若m∥n，n?α，则m∥α；
② 若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③ 若α∥β，m?α，n?β，则m∥n；
④ 若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，则n⊥β.
其中正确的命题是____________．(填序号)
答案：④
解析：①中没有强调m在平面α外；②中没有强调m，n相交；③中m与n有可
能异面；④正确．
2. 已知正方体ABCD A1B1C1D1，下列结论中正确的是________．(填序号)
① AD1∥BC1；
② 平面AB1D1∥平面BDC1；
③ AD1∥DC1； ④ AD1∥平面BDC1.
答案：①②④
解析：由四边形ABC1D1是平行四边形可知AD1∥BC1，故①正确；根据线面平行
与面面平行的判定定理可知，②④正确；AD1与DC1是异面直线，故③错误．3. 已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列说法中正
确的序号是________．
① 若m∥α，α∩β＝n，则m∥n；
② 若m⊥α，n⊥m，则n∥α；
③ 若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n； ④ 若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β.
答案：③
解析：对于①，如图，m∥α，α∩β＝n，此时m，n异面，故①错误；
对于②，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n?α，故②错误；
对于③，若n⊥β，α⊥β，则n∥α或n?α，又m⊥α，∴ m⊥n，故③正确；对于④，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m也可能与β相交、平行或在β内，
故④错误．
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4. 已知α和β是两个不重合的平面．在下列条件中，可判定α∥β的是
________．(填序号)
① α内有无数条直线平行于β； ② α内不共线的三点到β的距离相等；
③ l，m是平面α内的直线，且l∥β，m∥β； ④ l，m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.
答案：④
解析：由面面平行的判定定理可以推出．
5. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是
________．(填序号)
① 若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β； ② 若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β； ③ 若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β； ④ 若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β.
答案：②
解析：②选项，由条件n⊥β，m∥n推出m⊥β，又m∥α，易知α⊥β.6. 设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，给出四个论断：① α∩β＝b；② a?β；③ a∥b；④ a∥α.以其中三个论断为条件，余下一个论断为
结论，写出你认为正确的命题：__． 答案：①②③?④或①②④?③
解析：若α∩β＝b，a?β，a∥b，则a∥α，即①②③?④；若α∩β＝b，
a?β，a∥α，则a∥b，即①②④?③.
7. α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的序号
是________．
① 若α∥β，m?α，则m∥β； ② 若m∥α，n?α，则m∥n；
③ 若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；
④ 若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β.
答案：①④
解析：由α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，知：
在①中，若α∥β，m?α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故①正确；
在②中，若m∥α，n?α，则m∥n或m与n异面，故②错误；
在③中，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m与β相交、平行或m?β，故③错
误；
在④中，若n⊥α，m⊥α，则m∥n，又由n⊥β得m⊥β，故④正确．
8. 如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．
答案：5
解析：由PA⊥平面ABCD知，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD.又
AD⊥PA，且AD⊥AB，PA∩AB＝A，∴DA⊥平面PAB，∴ 平面DPA⊥平面PAB.又BC∥ AD，∴BC⊥平面PAB，∴ 平面PBC⊥平面PAB，同理DC⊥平面PDA，∴ 平面PDC⊥平
面PDA.
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9. 已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l⊥α，m?β，给
出下列命题：
① α∥β?l⊥m；② α⊥β?l∥m； ③ m∥α?l⊥β；④ l⊥β?m∥α. 其中正确的命题是________．(填序号)
答案：①④
解析：①是面面平行的性质的应用，正确；②α⊥β，l⊥α，l，m可平行，可相交，可异面，命题错误；③m∥α，l⊥α? l⊥m? l与β可平行，l可在β内，
l可与β相交，命题错误；④l⊥β，l⊥α?β∥α?m∥α，命题正确．
10. 在棱长均相等的正四棱锥PABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论：① PC∥平面OMN；② 平面OMN⊥平面PAB；③ OM⊥
PA；④ 平面PCD∥平面OMN.
其中正确结论的序号是________．
答案：①③④
解析：如图所示，其中E，F分别为AD，BC的中点，连结OE，OF，G为OE的中
点，连结EM，MG，AC，BD，平面OMN即平面MNOE.
因为M为PA的中点，O为AC的中点，所以PC∥OM，所以PC∥平面OMN，同理PD∥平面OMN，所以平面PCD∥平面OMN，故①④正确．由于四棱锥的棱长均相等，所以PA2＋PC2＝AB2＋BC2＝AC2，所以PC⊥PA.又PC∥OM，所以OM⊥PA，故③正确．因为OM＝PC＝PD＝ME，所以MG⊥OE.又MN∥OE，所以GM⊥MN.假设平面OMN⊥平面PAB，则GM⊥平面PAB，则MG⊥PA，设四棱锥的棱长为4，则MA＝2，AG＝，MG＝，三边长度
不满足勾股定理，所以MG不垂直PA，与假设矛盾，故②不正确．
二、 解答题
11. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．求
证：
(1) B1C1∥平面A1DE； (2) 平面A1DE⊥平面ACC1A1.
证明：(1) 因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC. 又因为在三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE. 又B1C1?平面A1DE，DE?平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE.
(2) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥底面ABC，
又DE?底面ABC，所以CC1⊥DE. 又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC.
又CC1，AC?平面ACC1A1，且CC1∩AC＝C，所以DE⊥平面ACC1A1.
又DE?平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1.
12. 如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E，F(E
与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：
(1) EF∥平面ABC；
(2) AD⊥AC.
证明：(1) 在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.
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又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2) 因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
BC?平面BCD，BC⊥BD，
所以BC⊥平面ABD. 因为AD?平面ABD，
所以BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC，
所以AD⊥平面ABC. 又因为AC?平面ABC，
所以AD⊥AC.
13. 如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC
的中点，AC＝BC，∠ACD＝90°. (1) 求证：AB⊥平面EDC；
(2) 若P为FG上任一点，求证：EP∥平面BCD.
证明：(1) 因为平面ABC⊥平面ACD，∠ACD＝90°，即CD⊥AC，
平面ABC ∩平面ACD＝AC，CD?平面ACD，
所以CD⊥平面ABC. 又AB?平面ABC，
所以CD⊥AB.
因为AC＝BC，E为AB的中点，
所以CE⊥AB.
又CE∩CD＝C，CD?平面EDC，CE?平面EDC，
所以AB⊥平面EDC.
(2) 连结EF，EG，因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF∥BD.
又BD?平面BCD，EF?平面BCD，
所以EF∥平面BCD.
同理可证EG∥平面BCD，且EF∩EG＝E，EF?平面BCD，EG?平面BCD，
所以平面EFG∥平面BCD. 又P为FG上任一点， 所以EP?平面EFG，
所以EP∥平面BCD.第5课时 空间几何体的表面积和体积
一、 填空题
1. 已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为120°，且面积为3π的扇形，则该圆
锥的体积为________．
答案：
22π3
解析：设圆锥的母线为l，底面半径为r，因为3π＝πl2，所以l＝3，由2πr
＝，得r＝1，所以圆锥的高是2，所以圆锥的体积是×π×12×2＝.
2. 如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB＝3 cm，AA1＝1 cm，则三棱锥D1A1BD