发布时间 : 星期三 文章2020高考数学一轮复习第八章立体几何初步课时训练更新完毕开始阅读825d1a1c27fff705cc1755270722192e4436581d
2019年
的体积为________cm3.
答案：2
3
解析：三棱锥D1A1BD的体积等于三棱锥BA1D1D的体积，因为三棱锥BA1D1D的高等于AB，△A1D1D的面积为矩形AA1D1D的面积的，所以三棱锥BA1D1D的体积是正
四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积的，所以三棱锥D1A1BD的体积为×32×1＝.
3. 若正四棱锥的底面边长为2 cm，侧面积为8 cm，则它的体积为________cm3.
答案：
43
3
解析：因为正四棱锥的底面边长为2，侧面积为8，所以底面周长c＝8，ch′＝ 8，所以斜高h′＝2，所以正四棱锥的高h＝，所以正四棱锥的体积为×22×＝.
4. 底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为________．
答案：3
4
解析：底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的高为1，底面积为4，则体积为.5. 设M，N分别为三棱锥P ABC的棱AB，PC的中点，三棱锥P ABC的体积记
为V1，三棱锥P AMN的体积记为V2，则＝________．
答案：4
1
解析：设△AMN的面积为S，点P到平面AMN的距离为h，则V2＝Sh，而V1＝
2××2S×h，则＝.
6. 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三
棱锥PABA1的体积为________．
答案：
解析：三棱锥的底S△ABA1＝×3×3＝，点P到底面ABA1的距离为△ABC的高：
h＝ ，故三棱锥的体积V＝Sh＝ .
7. 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，则三棱锥
B1ADE的体积为________．
答案：12
1
解析：三棱锥B1ADE的体积＝三棱锥DB1AE的体积＝×1××1×＝.
8. 若一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体
的棱长为________．
答案：2
解析：底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为8，则该正方体的棱长为2.9. 已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球
的表面积为________．
答案：24π
解析：设正四棱锥的高为h，则×()2h＝，解得高h＝.则底面正方形的对角线长
为×＝，所以OA＝＝，所以球的表面积为4π()2＝24π.
10. 将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB＝3，BC＝2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥OEFG体积的最大值是
________．
2019年
答案：4
解析：因为将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB＝3，BC＝2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，所以三棱锥OEFG的高为圆 柱的高，即高为AB，所以当三棱锥OEFG体积取最大值时，△EFG的面积最大， 当EF为直径，且点G在EF的垂直平分线上时，(S△EFG)max＝×4×2＝4，
所以三棱锥OEFG体积的最大值Vmax＝×(S△EFG)max×AB＝×4×3＝4.
二、 解答题
11. 如图，在三棱锥DABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝
a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF＝3FC.
(1) 求三棱锥DABC的体积；
(2) 若M为DB中点，N在棱AC上，且CN＝CA，求证：MN∥平面DEF. (1) 解：因为△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，所以S△BCD＝a2. 因为AB⊥平面BCD，所以VDABC＝VA BCD＝×S△BCD×AB＝×a2×a＝a3.
(2) 证明：连结CM，设CM∩DE＝O，连结OF.
则O为△BCD的重心，CO＝CM.
因为CN＝CA，AF＝3FC，所以CF＝CN，所以MN∥OF.因为OF?平面DEF，MN?平面
DEF，所以MN∥平面DEF.
12. 如图，在三棱锥PABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，点D
为线段AC的中点，点E为线段PC上一点．
(1) 求证：PA⊥BD；
(2) 求证：平面BDE⊥平面PAC；
(3) 当PA∥平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积． (1) 证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC.
因为BD?平面ABC，所以PA⊥BD.
(2) 证明：因为AB＝BC，点D为AC的中点，
所以BD⊥AC.
由(1)知，PA⊥BD，PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，所以BD⊥平面PAC.又BD?
平面BDE，
所以平面BDE⊥平面PAC.
(3) 解：因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，
所以PA∥DE.
因为点D为AC的中点，所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝.
由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC， 所以三棱锥E BCD的体积V＝BD·DC·DE＝.
13. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，BD∩AC＝O，现将其沿菱形对
角线BD折起得到四面体EBCD，使EC＝.
(1) 求证：EO⊥CD.
(2) 求点O到平面EDC的距离．
(1) 证明：∵ 四边形ABCD为菱形，∴ AC⊥BD.
∵ BD∩AC＝O，∴ EO⊥BD.
∵ 在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，∴ AD＝CD＝BC＝2，AO＝OC＝1.
2019年
∵ EC＝，CO＝EO＝1， ∴ EO2＋OC2＝EC2， ∴ EO⊥OC.又BD∩OC＝O， ∴ EO⊥平面BCD，∴ EO⊥CD.
(2) 解：设点O到平面ECD的距离为h，由(1)知EO⊥平面OCD. V三棱锥OCDE＝V三棱锥EOCD，即S△OCD·EO＝S△ECD·h.
在Rt△OCD中，OC＝1，OD＝，∠DOC＝90°，∴ S△OCD＝·OC·OD＝.在△CDE中，ED＝DC＝2，EC＝，∴ S△CDE＝××＝，∴ h＝＝，即点O到平面EDC的距离
为.第6课时 空间向量在立体几何中的应用
一、 填空题
1. 已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用
a，b，c表示，则＝________．
答案：(b＋c－a)
解析：＝－＝(b＋c)－a＝(b＋c－a)．
2. 若直线l⊥α，且l的方向向量为(m，2，4)，平面α的法向量为，则m为
________． 答案：1
解析：∵ (m，2，4)＝λ，∴ ∴ m＝1.
3. 若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ
＝________．
答案：－2或55
2