发布时间 : 星期一 文章中考数学压轴题专题复习 - 锐角三角函数的综合附详细答案更新完毕开始阅读8263c22314fc700abb68a98271fe910ef12dae2a
中考数学压轴题专题复习——锐角三角函数的综合附详细答案
一、锐角三角函数
1．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究∠APE的度数： （1）如图1，若k=1，则∠APE的度数为 ；
（2）如图2，若k=3，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数．
（3）如图3，若k=3，且D、E分别在CB、CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．
【答案】（1）45°；（2）（1）中结论不成立，理由见解析；（3）（2）中结论成立，理由见解析. 【解析】
分析：（1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△FAE≌△ACD，得出EF=AD=BF，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论； （2）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△FAE∽△ACD，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；
（3）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△ACD∽△HEA，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；
详解：（1）如图1，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，
∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形， ∴BD=AF，BF=AD． ∵AC=BD，CD=AE， ∴AF=AC． ∵∠FAC=∠C=90°，
∴△FAE≌△ACD，
∴EF=AD=BF，∠FEA=∠ADC． ∵∠ADC+∠CAD=90°， ∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD． ∵AD∥BF， ∴∠EFB=90°． ∵EF=BF， ∴∠FBE=45°， ∴∠APE=45°．
（2）（1）中结论不成立，理由如下：
如图2，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，
∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形， ∴BD=AF，BF=AD． ∵AC=3BD，CD=3AE，
ACCD??3． BDAE∵BD=AF，
∴
ACCD??3． AFAE∵∠FAC=∠C=90°， ∴△FAE∽△ACD，
∴
ACADBF???3，∠FEA=∠ADC． AFEFEF∵∠ADC+∠CAD=90°，
∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD． ∵AD∥BF， ∴∠EFB=90°．
∴
在Rt△EFB中，tan∠FBE=∴∠FBE=30°， ∴∠APE=30°，
（3）（2）中结论成立，如图3，作EH∥CD，DH∥BE，EH，DH相交于H，连接AH，
EF3， ?BF3
∴∠APE=∠ADH，∠HEC=∠C=90°，四边形EBDH是平行四边形， ∴BE=DH，EH=BD． ∵AC=3BD，CD=3AE，
ACCD??3． BDAE∵∠HEA=∠C=90°， ∴△ACD∽△HEA，
∴
ADAC??3，∠ADC=∠HAE． AHEH∵∠CAD+∠ADC=90°， ∴∠HAE+∠CAD=90°， ∴∠HAD=90°．
∴
在Rt△DAH中，tan∠ADH=∴∠ADH=30°， ∴∠APE=30°．
点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质．
AH?3， AD
2．如图13，矩形为
．
的对角线
，
相交于点
，
关于
的对称图形
（1）求证：四边形（2）连接①求②若点
，若的值； 为线段的速度沿线段
是菱形； ，
．
上一动点（不与点
匀速运动到点
重合），连接，再以
，一动点从点出发，以
的速度沿线段匀速运动到点
，到达点长和点
后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的
走完全程所需的时间．
②
和
走完全程所需时间为
【答案】（1）详见解析；（2）①
【解析】
试题分析：（1）利用四边相等的四边形是菱形；（2）①构造直角三角形求②先确定点
与
沿上述路线运动到点
四边形
交于点O,且
所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间.
是矩形.关于
对称
；
试题解析：解：（1）证明：
四边形（2）①连接
关于
是菱形. ,直线
分别交
于点
,交
于点
的对称图形为
在矩形
为
中，为的中点，且O为AC的中点
的中位线
同理可得：为的中点，
②过点P作
由
运动到
交于点
所需的时间为3s
由①可得，