发布时间 : 星期日 文章东北大学秦皇岛分校年解析几何期末考试题(含答案),优酷有配套讲解视频更新完毕开始阅读826c8468f02d2af90242a8956bec0975f465a4a8
学 号
班 级
姓 名
装 订 装 线 订 线 内 不 要 答 题 东 北 大 学
秦 皇 岛 分 校
课程名称： 解析几何 试卷： A（答案） 考试形式： 闭卷
授课专业： 信科、应数、统计 考试日期：2011年 12月 28日试卷：共2 页
题号 一 二 三 总分 得分 阅卷人 一、填空（每空3分，共36分）
1、已知|a|?5,|b|?8且?(a,b)??3，求：a?b= 20 ，|a?b|= 203 ，|a?b|= 7 ；
2、方程x2?y2?z2?2x?4y?4?0表示的曲面为 球面 ；
3、在直角坐标系中，点P(2,3,?2)到平面6x?3y?2z?6?0的距离为 1 ；4、平面2x?y?3z?1?0与xyz3?6??2?1的位置关系为 平行 ； 5、当?= 5x?14 时，直线1?y?12?z?1?与x?1?y?1?z相交，此时交点
为 （5, 7, 6） ；
x2z26、曲面4?9?2y称为_ 椭圆抛物 _面，平面x?4截割此曲面的截线方程
2为 ??18y?z?36?0, ；
?x?4.?x2y27、将xOy平面中的椭圆????1x轴旋转所得曲面方程为
?94,绕?z?0x29?y24?z24?1，绕y轴旋转所得曲面方程为x29?y2z24?9?1。 二、解答下列各题（共42分）
1、求顶点在原点，以曲线??x2?2z?1?0,?z?1?0为准线的锥面方程。（8分）
?y解：设M1(x1,y1,z1)为准线上任一点，则过M1的母线为
xx?y?zz …………………………（2分）1y11且有
??x21?2z1?1?0,z ……………（5分）?y1?1?1?0设
xx?y?z?t，代入上式，消去参数t，得锥面方程 1y1z1x2?y2?z2?0。 ………………………（8分）2、设平面通过原点O和点M(6,?3,2)，且与平面4x?y?2z?8垂直，求此平面方程。（8分）
解：设a=OM?{6,?3,2}。则平面4x?y?2z?8的法向量
n={4,?1,2}与a={6,?3,2} ……………………（3分）均平行于所求平面，
又O在平面上，于是所求平面的点位式方程为
xyz6?32?0， ……………………（6分）4?12整理得2x?2y?3z?0。 ………………………（8分）1 / 2
学 号
x2y2z23、给定方程???1，试问当?取异于1,4,9的各种数值时，它
9??4??1??所以，所求旋转面的方程为
3x2?3z2?4xy?2xz?4yz?4x?8y?4z?0 。 …………（10分）
三、证明题（共22分）
1、证明：1）向量a垂直于向量(ab)c?(ac)b；（5分）
班 级
表示怎样的曲面。（8分） 解：（1）当??9时，这个方程不表示任何图形； …………………（2分） （2）当9???4时，方程表示双叶双曲面； ……………………（4分） （3）当4???1时，方程表示单叶双曲面； ………………………（6分） （4）当1??时，方程表示椭球面。 …………………………（8分）
姓 名
装 订 装 线 订 线 内 不 要 答 题 4、求与直线??x?y?4z?12?0平行且通过点（1,2,3?2x?y?2z?3?0）的直线方程。（8分）
解：直线的方向向量为：
ijkv?1?1?4??6,?6,3? ………………（4分）21?2故所求直线的方程为
x?12?y?2?2?z?31。 …………………（8分）5、求曲线??x2?y绕直线x?y?z旋转生成的旋转面的方程。（?x?z?012110分）
解：点M(x,y,z)在旋转面上 ? 点M(x,y,z)在母线上经过M0(x0,y0,z0)的纬圆上 …………………………（2分）即
?2?x0?y0,??x0?z0?0,?x2?y2?z2?x2?y2?z2 …………………………（6分）?000,?(x?x0)?2(y?y0)?(z?z0)?0,消去x0,y0,z0为
[12(x?2y?z)]2?(x?2y?z)?x2?y2?z2 …………………（8分） 2）如果a?b?c?0，那么a?b?b?c?c?a。（5分） 证明：1）由于
a?[(ab)c?(ac)b]?a?[(ab)c]?a?[(ac)b]?(ab)(ac)?(ac)(ab) ……………（3分）
?0因此，a垂直于向量(ab)c?(ac)b； …………………………（5分） 2）由于a?b?c?0，故
a??(b?c)。 …………………………（1分）
于是
a?b?[?(b?c)]?b??(b?b?c?b)??c?b?b?c; ………（3分） c?a?c?[?(b?c)]??(c?b?c?c)??c?b?b?c. ………（5分）
因此a?b?b?c?c?a。
2、证明(x?z)2?(y?z?a)2?a2表示的曲面是柱面。（12分）
证明：原方程可以化为(x?z)2?(y?z)(2a?y?z)， …………………（2分） 从而原方程等价于
??x?z??(y?z)??(x?z)?2a?y?z …………………（5分） 即??x??y?(1??)z?0,?x?y?(1??)z?2a?0. ?这是一族直线，这些直线生成所求曲面。 …………………（7分）
而这族直线的方向数为
X:Y:Z?1:?1:1， …………………（10分）
这是一族平行直线。因此它生成的曲面是一个柱面。 …………………（12分）
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