发布时间 : 星期二 文章八年级数学 实数（平方根与算术平方根）讲义更新完毕开始阅读826e0b69f111f18582d05a30
八年级数学 第2讲实数(一)
知识点一：无理数 1、无理数的概念
无限不循环小数叫做无理数．
学习无理数应把握住无理数的三个特征：①无理数是小数；②无理数是无限小数；③无理数是不循环小数．判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个也不能少．
2、有理数与无理数的区别
事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数来表示；反过来，任何有限小数或无
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限循环小数也都是有理数．如3可看做3.0这样的有限小数，也可以化为这样的分数形式；
1
7
无限循环小数都可以化为分数，如：3.14可化为3. 50
例 把下列小数化成分数：
?4?． ?；(3)0.3(1)0.6；(2)0.7有理数与无理数的主要区别：①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循
环小数；②任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能．
【例1】 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
··
422
3．141 592 6，－，2.58，6.751 755 175 551 7?(相邻7,1之间5的个数逐次加1),0，，
37
·
π
－5.23，－.
2
3、无理数近似值的估算方法 无理数的估算用的是“夹逼法”，要注意掌握其应用特征.要估算无理数的近似值，第一步应确定被估算无理数的整数取值范围；第二步以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数逐步开始减0.1)，并求其平方，确定被估算数的十分位；?；如此继续下去，可以求出无理数的近似值．
【例2】 面积为7的正方形的边长为x，请你回答下列问题． (1)x的整数部分是多少？
(2)把x的值精确到十分位是多少？精确到百分位呢？ (3)x是有理数吗？请简要说明理由．
4、无理数的常见类型
判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数，无理数常见的形式主要有三种：
(1)一般的无限不循环小数，如1.414 213 56?是无理数．
看似循环而实质不循环的小数，如0.101 001 000 1?(相邻两个1之间0的个数逐次增加1)是无理数．
(2)圆周率π以及含π的数，如π，2π，π＋5，都是无理数．
(3)开方开不尽的数，如2、3?是无理数．
【例3】 下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？
··
π110，，－4,0.12，－，1.112 111 211?(相邻两个2之间1的个数逐次加1)，3.141 592 ，27
7，
5，8
5、无理数的应用
【例4】 如图所示，要从离地面5 m的电线杆上的B处向地面C处拉一条钢丝绳来固定电线杆，要固定点C到A处的距离为3 m，求钢丝绳BC的长度(精确到十分位)．
知识点二：平方根
1、平方根的概念：如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).32＝9，所以3是9的平方根．(－3)2＝9，所以－3也是9的平方根，所以9的平方根是3和－3.
2、平方根的表示方法：正数a的平方根可记作“±a”，读作“正、负根号a”．“ ”读作“根号”，“a”是被开方数．例如：2的平方根可表示为±2.
3、平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．
【例5】 求下列各数的平方根：
15
(1)81；(2)(－7)2；(3)1. 49
【例6】 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由． 9
(1)；(2)0；(3)－9；(4)|－0.81|；(5)－22. 4
知识点三：算术平方根
1、算术平方根的概念：如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根．
2、算术平方根的表示方法：正数a的算术平方根记作“a”，读作“根号a”．
3、算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有平方根，当然也没有算术平方根．
【例7】 求下列各数的算术平方根：
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(1)0.09；(2).
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知识点四：开平方
求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数．开平方运算是已知指数和幂求底数．
(1)因为平方和开平方互逆，故可通过平方来寻找一个数的平方根，也可以利用平方验算所求平方根是否正确．
(2)开平方与平方互为逆运算，正数、负数、0可以进行“平方”运算，且“平方”的结果只有一个；但“开平方”只有正数和0才可以，负数不能开平方，且正数开平方时有两个结果．
(3)对于生活和生产中的已知面积求长度的问题，一般可用开平方加以解决．
【例8】 小明家计划用80块正方形的地板砖铺设面积是20 m2的客厅，试问小明家需要购买边长是多少的地板砖？
知识点五：a2与(a)2的关系
a表示a的算术平方根，依据算术平方根的定义，(a)2＝a(a≥0).a2表示a2的算术平方根，依据算术平方根的定义，若a≥0，则a2的算术平方根为a；若a＜0，则a2的算术平
??a，a≥0，2方根为－a，即a＝|a|＝?
?－a，a<0.?
(1)区别：①意义不同：(a)2表示非负数a的算术平方根的平方；a2表示实数a的平
方的算术平方根．②取值范围不同：(a)2中的a为非负数，即a≥0；a2中的a为任意数．③
22运算顺序不同：(a)是先求a的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；a是先求a的平方，再求平方后的算术平方根．④写法不同．在(a)2中，幂指数2在根号的外面；而
??a，a≥0，222在a中，幂指数2在根号的里面．⑤运算结果不同：(a)＝a；a＝|a|＝?
?－a，a<0.?
(2)联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算．②两式运算的结果都是非负数，即2
(a)≥0，a2≥0.③仅当a≥0时，有(a)2＝a2.
【例9】 化简：(6)2＝__________；(－7)2＝__________.
【例10】 (1)求(－3)2的平方根；(2)计算144；(3)求(π－3.142)2的算术平方根；(4)求16的平方根．
【例11】 求下列各式的值：
(1)±81； (2)－16； (3)知识点六：非负数的性质
1、非负数：|a| 、a、a2；2、若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0. 3、几个非负数的和为非负数
【例12】 若－x2＋y＝6，则x＝__________，y＝__________. 【例13】 若|m－1|＋n－5＝0，则m＝__________，n＝__________
9； (4)(－4)2. 25
x2－4＋4－x2【例14】 如果y＝＋2 013成立，求x2＋y－3的值
x＋2
课内练习：
1、填空:0.351，?4.96，???2?， 3.14159， 6， －5.2323332?，，334··
1234567891011?(由相继的正整数组成)， 3．141 592 6，－，2.58，6.751 755 175 551
3
·
π22
7?(相邻7,1之间5的个数逐次加1),0，，－5.23，－.
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? 有理数集合 ? 无理数集合
2、 判断下列说法是否正确
(1)有限小数是有理数; （ ） (2)无限小数都是无理数; （ ） (3)无理数都是无限小数; （ ） (4)有理数是有限数. （ ） 3、以下各正方形的边长是无理数的是（ ） (A）面积为25的正方形； (C） 面积为8的正方形；
(B） 面积为
4的正方形； 25(D） 面积为1.44的正方形.
4、一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5，则斜边a是有理数吗?
5、解方程：4(x+1)=8
2
5 a 3
5、求下列各数的平方根和算术平方根：
1（1）121； （2）（－3）； （3）3；
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