发布时间 : 星期六 文章专题14 坐标系与参数方程-2020年高考数学(理)二轮专项习题练 (解析版)更新完毕开始阅读82b5c9b553e79b89680203d8ce2f0066f53364be
专题14 坐标系与参数方程
1．(2018北京)在极坐标系中，直线?cos???sin??a(a?0)与圆?=2cos?相切，则a=___．
1?2【解析】利用x??cos?，y??sin?，可得直线的方程为x?y?a?0，圆的方程为
(x?1)2?y2?1，所以圆心(1,0)，半径r?1，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，
即|1?a|?1，∴a?1?2或1?2又a?0，∴a?1?2． 222．在极坐标系中，点A在圆??2?cos??4?sin??4?0上，点P的坐标为(1,0)），则|AP|的最小
值为___________．
1【解析】圆的普通方程为x?y?2x?4y?4?0，即(x?1)?(y?2)?1．
设圆心为C(1,2)，所以|AP|min?|PC|?r?2?1?1．
3．在极坐标系中，直线4?cos(??)?1?0与圆??2sin?的公共点的个数为_____． 2【解析】直线的普通方程为23x?2y?1?0，圆的普通方程为x?(y?1)?1，
222222?6因为圆心到直线的距离d?3?1 ，所以有两个交点． 44．在极坐标系中，直线?cos??3?sin??1?0与圆??2cos?交于A,B两点，则|AB|?____． 2【解析】将?cos??3?sin??1?0化为直角坐标方程为x?3y?1?0，将ρ=2cos θ化为直角坐标
22方程为(x?1)?y?1，圆心坐标为(1,0)，半径r=1，又(1，0)在直线x?3y?1?0上，所以
|AB|=2r=2．
5．已知直线l的极坐标方程为2?sin(??离为 ．
?4)?2，点Α的极坐标为??22,7?)，则点Α到直线l的距4522?(sin?cos?)=2，所以y-x=1， 【解析】由2?sin(?-)=2得2??224故直线l的直角坐标方程为x-y+1=0，而点A(22,7?)对应的直角坐标为 4A(2,-2)，所以点A(2,-2)到直线l：x-y+1=0的距离为6．在极坐标系中，圆??8sin?上的点到直线??2|2+2+1|52． =22?3(??R)距离的最大值是
226【解析】圆?=8sin?即?=8?sin?，化为直角坐标方程为x+(y-4)=16，
直线?=?3，则tan?=3，化为直角坐标方程为3x-y=0，圆心(0,4)到直线
的距离为|-4|=2，所以圆上的点到直线距离的最大值为6． 47．(2018全国卷Ⅰ) [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y?k|x|?2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??2?cos??3?0． (1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
【解析】(1)由x??cos?，y??sin?得C2的直角坐标方程为(x?1)?y?4．
222(2)由(1)知C2是圆心为A(?1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为
l2．由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有
两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点． 当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以经检验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k??共点．
当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以经检验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k?|?k?2|?2，故k??4或k?0．
3k2?14时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公3|k?2|?2，故k?0或k?4．
3k2?14时，l2与C2没有公共点． 3综上，所求C1的方程为y??
4|x|?2． 38．(2018全国卷Ⅱ)[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为??x?2cosθ,（θ为参数），直线l的参数方程为
?y?4sinθ,?x?1?tcosα（t为参数）． ?y?2?tsinα?(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
x2y2??1． 【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为
416当cos??0时，l的直角坐标方程为y?tan??x?2?tan?， 当cos??0时，l的直角坐标方程为x?1．
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程
(1?3cos2?)t2?4(2cos??sin?)t?8?0．①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1?t2?0． 又由①得t1?t2??4(2cos??sin?)，故2cos??sin??0，于是直线l的斜率k?tan???2． 21?3cos?9．(2018全国卷Ⅲ)[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，eO的参数方程为?的直线l与eO交于A，B两点． (1)求?的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程． 【解析】(1)eO的直角坐标方程为x2?y2?1．
当???x?cos?，（?为参数），过点(0,?2)且倾斜角为??y?sin??时，l与eO交于两点． 2当??2?|?1，l与eO交于两点当且仅当|时，记tan??k，则l的方程为y?kx?2．解得k??1221?k?????或k?1，即??(,)或??(,)．
4224???综上，?的取值范围是(,)．
44??x?tcos?,???(t为参数，???)． (2)l的参数方程为?y??2?tsin?44??设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP?且tA，tB满足t2?22tsin??1?0．
tA?tB， 2??x?tPcos?,于是tA?tB?22sin?，tP?2sin?．又点P的坐标(x,y)满足?
y??2?tsin?.??P?2sin2?,?x?????2(?为参数，???)． 所以点P的轨迹的参数方程是?44?y??2?2cos2???2210．(2018江苏)C．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
π在极坐标系中，直线l的方程为?sin(??)?2，曲线C的方程为??4cos?，求直线l被曲线C截得
6的弦长．
C．【解析】因为曲线C的极坐标方程为?=4cos?，
所以曲线C的圆心为(2,0)，直径为4的圆．
π因为直线l的极坐标方程为?sin(??)?2，
6则直线l过A(4,0)，倾斜角为
π， 6所以A为直线l与圆C的一个交点． 设另一个交点为B，则∠OAB=
π． 6π， 2连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=