发布时间 : 星期二 文章高等数学教材(较完整)-大一高等数学基础教材更新完毕开始阅读831d230ba517866fb84ae45c3b3567ec102ddcff
c)：如果，则称α和β是等价无穷小，记作：α∽β(α与β等价)
例：因为因为因为
等价无穷小的性质
，所以当x→0时，x与3x是同阶无穷小； ，所以当x→0时，x是3x的高阶无穷小； ，所以当x→0时，sinx与x是等价无穷小。
2
设，且存在，则.
注：这个性质表明：求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题。
例题：1.求
解答：当x→0时，sinax∽ax，tanbx∽bx，故：
例题： 2.求
解答：
注：
注：从这个例题中我们可以发现，作无穷小变换时，要代换式中的某一项，不能只代换某个因子。 函数的一重要性质——连续性
在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性
在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念——增量
设变量x从它的一个初值x1变到终值x2，终值与初值的差x2-x1就叫做变量x的增量，记为：△x即：△x=x2-x1 增量△x可正可负.
我们再来看一个例子：函数
在点x0的邻域内有定义，当自变量x在领域内从x0变到x0+△x时，函数y相应地从
变到，其对应的增量为：
这个关系式的几何解释如下图：
现在我们可对连续性的概念这样描述：如果当△x趋向于零时，函数y对应的增量△y也趋向于零，即：末就称函数
在点x0处连续。
，那
函数连续性的定义： 设函数函数的
在点x0的某个邻域内有定义，如果有的连续点.
在区间(a,b]内有定义，如果左
称函数
在点x0处连续，且称x0为
下面我们结合着函数左、右极限的概念再来学习一下函数左、右连续的概念：设函数
极限存在且等于，即：
存在且等于
=，那末我们就称函数，即：
=
在点b左连续.设函数，那末我们就称函数
在区间在点a右连
[a,b)内有定义，如果右极限续.
一个函数在开区间(a,b)内每点连续,则为在(a,b)连续，若又在a点右连续，b点左连续，则在闭区间[a，b]连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。
注：一个函数若在定义域内某一点左、右都连续，则称函数在此点连续，否则在此点不连续. 注：连续函数图形是一条连续而不间断的曲线。
通过上面的学习我们已经知道函数的连续性了，同时我们可以想到若函数在某一点要是不连续会出现什么情形呢？接着我们就来学习这个问题：函数的间断点
函数的间断点
定义：我们把不满足函数连续性的点称之为间断点. 它包括三种情形：
a)：
在x0无定义；
b)：在x→x0时无极限；
c)：在x→x0时有极限但不等于；
下面我们通过例题来学习一下间断点的类型：
例1： 正切函数在处没有定义，所以点是函数的间断点，因，我
们就称为函数的无穷间断点；
例2：函数在点x=0处没有定义；故当x→0时，函数值在-1与+1之间变动无限多次，我们就称点x=0叫做函
数的振荡间断点；
例3：函数当x→0时，左极限，右极限，从这我们可以看出函数
左、右极限虽然都存在，但不相等，故函数在点x=0是不存在极限。我们还可以发现在点x=0时，函数值产生跳跃现象，为此我们把这种间断点称为跳跃间断点；我们把上述三种间断点用几何图形表示出来如下:
间断点的分类
我们通常把间断点分成两类：如果x0是函数
的间断点，且其左、右极限都存在，我们把x0称为函数的第一类
间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.
可去间断点 若x0是函数
的间断点，但极限
≠
存在，那末x0是函数。我们令
的第一类间断点。此时函数不连续原因是：，则可使函数
在点x0处连续，故这种
不存在或者是存在但
间断点x0称为可去间断点。
连续函数的性质及初等函数的连续性 连续函数的性质
函数的和、积、商的连续性
我们通过函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得出以下结论： a)：有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数； b)：有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数；
c)：两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数(分母在该点不为零)； 反函数的连续性 若函数连续
在某区间上单调增(或单调减)且连续，那末它的反函数
也在对应的区间上单调增(单调减)且
例：函数续的。
复合函数的连续性
在闭区间上单调增且连续，故它的反函数在闭区间[-1,1]上也是单调增且连
设函数当x→x0时的极限存在且等于a，即：
当x→x0时的极限也存在且等于
.即：
.而函数
在点u=a连续，那末复合函数
例题：求
解答：
注：函数上述结论。
设函数x=x0也是连续的
初等函数的连续性
可看作与复合而成，且函数在点u=e连续，因此可得出
在点x=x0连续，且，而函数在点u=u0连续，那末复合函数在点
通过前面我们所学的概念和性质，我们可得出以下结论：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的；一切初等函数在其定义域内也都是连续的.
闭区间上连续函数的性质
闭区间上的连续函数则是在其连续区间的左端点右连续，右端点左连续.对于闭区间上的连续函数有几条重要的性质，下面我们来学习一下：
最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。(在此不作证明)
例：函数y=sinx在闭区间[0，2π]上连续，则在点x=π/2处，它的函数值为1，且大于闭区间[0，2π]上其它各点出的函数值；则在点x=3π/2处，它的函数值为-1，且小于闭区间[0，2π]上其它各点出的函数值。
介值定理 在闭区间上连续的函数一定取得介于区间两端点的函数值间的任何值。即：在α、β之间，则在[a，b]间一定有一个ξ，使
，μ
推论： 在闭区间连续的函数必取得介于最大值最小值之间的任何值。
二、导数与微分 导数的概念
在学习到数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。例：设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数，
，求质点在t0的瞬时速度？我们知道时间从t0有增量△t时，质点的位置有增量
，这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为：.
若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t0时的瞬时速度。我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度，即：质点在t0时的瞬时速度
=为此就产生了导数的定义，如下：