发布时间 : 星期四 文章高等数学教材(较完整)-大一高等数学基础教材更新完毕开始阅读831d230ba517866fb84ae45c3b3567ec102ddcff
如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c，使
成立。
这个定理的特殊情形，即： 若使
的情形，称为罗尔定理。描述如下：
，那末在(a,b)内至少有一点c，
在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且成立。
注：这个定理是罗尔在17世纪初，在微积分发明之前以几何的形式提出来的。 注：在此我们对这两个定理不加以证明，若有什么疑问，请参考相关书籍
下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理——柯西中值定理 柯西中值定理
如果函数，在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且≠0，那末在(a，b)内至
少有一点c，使成立。
例题：证明方程在0与1之间至少有一个实根
证明：不难发现方程左端 函数尔定理
是函数的导数：
，由罗
在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且
可知，在0与1之间至少有一点c，使 也就是：方程
，即
在0与1之间至少有一个实根 未定式问题
问题：什么样的式子称作未定式呢？
答案：对于函数,来说，当x→a(或x→∞)时，函数,都趋于零或无穷大
则极限可能存在，也可能不存在，我们就把式子称为未定式。分别记为型
我们容易知道，对于未定式的极限求法，是不能应用\商的极限等于极限的商\这个法则来求解的，那么我们该如何求这类问题的极限呢？
下面我们来学习罗彼塔(L'Hospital)法则，它就是这个问题的答案 注：它是根据柯西中值定理推出来的。
罗彼塔(L'Hospital)法则
当x→a(或x→∞)时，函数,都趋于零或无穷大，在点a的某个去心邻域内(或当│x│＞N)时，
与都存在，≠0，且存在
则：=
这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法，就是所谓的罗彼塔(L'Hospital)法则 注：它是以前求极限的法则的补充，以前利用法则不好求的极限，可利用此法则求解。
例题：求
解答：容易看出此题利用以前所学的法则是不易求解的，因为它是未定式中的以利用上面所学的法则了。
型求解问题，因此我们就可
例题：求
解答：此题为未定式中的型求解问题，利用罗彼塔法则来求解
另外，若遇到
、
、
、
、
等型，通常是转化为
型后，在利用法则求解。
例题：求
解答：此题利用以前所学的法则是不好求解的，它为
型，故可先将其转化为
型后在求解，
注：罗彼塔法则只是说明：对未定式来说，当存在，则存在且二者的极限相同；而
并不是不存在时，也不存在，此时只是说明了罗彼塔法则存在的条件破列。 函数单调性的判定法
函数的单调性也就是函数的增减性，怎样才能判断函数的增减性呢？
我们知道若函数在某区间上单调增(或减)，则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正(或负),也就是函数的导数在此区间上均取正值(或负值).因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性.
判定方法：
设函数在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.
＞0，那末函数＜0，那末函数
在[a,b]上单调增加； 在[a,b]上单调减少.
a)：如果在(a,b)内 b)：如果在(a,b)内
例题：确定函数的增减区间.
解答：容易确定此函数的定义域为(－∞,＋∞)
其导数为： 当x＞0时， 当x＜0时，
，因此可以判出：
＞0，故它的单调增区间为(0,＋∞)； ＜0，故它的单调减区间为(-∞,0)；
注：此判定方法若反过来讲，则是不正确的。
函数的极值及其求法
在学习函数的极值之前，我们先来看一例子：
设有函数，容易知道点x=1及x=2是此函数单调区间的分界点，又可知在点
x=1左侧附近，函数值是单调增加的，在点x=1右侧附近，函数值是单调减小的.因此存在着点x=1的一个邻域,对于这个邻域内,任何点x(x=1除外)，这些性质呢？
事实上，这就是我们将要学习的内容——函数的极值， 函数极值的定义 设函数
在区间(a,b)内有定义，x0是(a,b)内一点.
＜
均成立，点x=2也有类似的情况(在此不多说),为什么这些点有
若存在着x0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x0点除外)， 则说
是函数
的一个极大值；
＜均成立，
若存在着x0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x0点除外)， 则说
是函数
的一个极小值.
＞均成立，
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。 我们知道了函数极值的定义了，怎样求函数的极值呢？ 学习这个问题之前，我们再来学习一个概念——驻点 凡是使
的x点，称为函数
的驻点。
判断极值点存在的方法有两种：如下 方法一： 设函数
在x0点的邻域可导，且
.
＞0，当x取x0右侧邻近值时，
＜0，
情况一：若当x取x0左侧邻近值时，