发布时间 : 星期三 文章2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第一期) 专题22 等腰三角形(含解析)更新完毕开始阅读8327894e33b765ce0508763231126edb6f1a763c
A′EF≌△A′EB′，推出 EF＝EB′，推出 B′，F 关于 A′E 对称，推出 PF＝PB′， 推出 PA+PF＝PA+PB′≥AB′，求出 AB′即可解决问题． 【解答】（1）①解：旋转角为 105°． 理由：如图 1 中，
∵A′D⊥AC，
∴∠A′DC＝90°，
∵∠CA′D＝15°，
∴∠A′CD＝75°，
∴∠ACA′＝105°，
∴旋转角为 105°．
②证明：连接 A′F，设 EF 交 CA′于点 O．在 EF 时截取 EM＝EC，连接 CM．
∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，
∴∠CEA′＝120°，
∵FE 平分∠CEA′，
∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，
∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，
∴△FOC∽△A′OE， ∴∴
＝＝
， ，
∵∠COE＝∠FOA′，
∴△COE∽△FOA′，
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∴∠FA′O＝∠OEC＝60°，
∴△A′OF 是等边三角形，
∴CF＝CA′＝A′F，
∵EM＝EC，∠CEM＝60°，
∴△CEM 是等边三角形，
∠ECM＝60°，CM＝CE，
∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，
∴∠FCM＝∠A′CE，
∴△FCM≌△A′CE（SAS），
∴FM＝A′E，
∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．
（2）解：如图 2 中，连接 A′F，PB′，AB′，作 B′M⊥AC 交 AC 的延长线于 M．
由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，
∴△A′EF≌△A′EB′，
∴EF＝EB′，
∴B′，F 关于 A′E 对称，
∴PF＝PB′，
∴PA+PF＝PA+PB′≥AB′， 在 Rt△CB′M 中，CB′＝BC＝
AB＝2，∠MCB′＝30°，
∴B′M＝CB′＝1，CM＝ ， ∴AB′＝
＝
＝
．
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∴PA+PF 的最小值为．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
6 .（2019?湖北天门?10 分）已知△ABC 内接于⊙O，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，连接DB，DC．
（1） 如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段 AB，AC，AD 之间满足的等量关系
式 ： AB+AC＝AD ；
（2） 如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段 AB，AC，AD 之间满足的等量关系，并
证明你的结论；
（3） 如图③，若 BC＝5，BD＝4，求
的值．
【分析】（1）在 AD 上截取 AE＝AB，连接 BE，由条件可知△ABE 和△BCD 都是等边三角形，可证明△BED≌△BAC，可得 DE＝AC，则 AB+AC＝AD；
（2） 延长 AB 至点 M，使 BM＝AC，连接 DM，证明△MBD≌△ACD，可得 MD＝AD，
证得 AB+AC＝；
（3） 延长 AB 至点 N，使 BN＝AC，连接 DN，证明△NBD≌△ACD，可得 ND＝AD，∠
N＝∠CAD，证△NAD∽△CBD，可得，可由 AN＝AB+AC，求出的值．
【解答】解：（1）如图①在 AD 上截取 AE＝AB，连接 BE，
∵∠BAC＝120°，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，
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∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°， ∴△ABE 和△BCD 都是等边三角形，
∴∠DBE＝∠ABC，AB＝BE，BC＝BD，
∴△BED≌△BAC（SAS），
∴DE＝AC，
∴AD＝AE+DE＝AB+AC；
故答案为：AB+AC＝AD．
（2） AB+AC＝
AD．理由如下：
如图②，延长 AB 至点 M，使 BM＝AC，连接 DM，
∵四边形 ABDC 内接于⊙O，
∴∠MBD＝∠ACD，
∵∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴BD＝CD，
∴△MBD≌△ACD（SAS），
∴MD＝AD，∠M＝∠CAD＝45°， ∴MD⊥AD． ∴AM＝ ∴AB+AC＝
，即 AB+BM＝
；
，
（3） 如图③，延长 AB 至点 N，使 BN＝AC，连接 DN，
∵四边形 ABDC 内接于⊙O，
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