发布时间 : 星期三 文章（优辅资源）陕西省汉中市高考数学一模试卷（理科） Word版含解析更新完毕开始阅读836cfa68ab00b52acfc789eb172ded630a1c9802
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∴PQ∥平面BCD；
（Ⅱ）解：在平面DFC内，过F作FC的垂线，则∠DFC=
，建立坐标系，
），A（2，
则E（2，0，0），C（0，1，0），B（2，1，0），D（0，﹣1，﹣﹣1，∴
），
），
=（0，2，﹣
），
=（﹣2，﹣2，=（0，1，0），
，取=（0，，
设平面DAB的一个法向量为=（x，y，z），则），
同理平面DBE的一个法向量为=（，0，∴cos＜，＞=
=，
），
∴二面角A﹣DB﹣E的余弦值为．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，考查向量方法的运用，是中档题．
20．（12分）（2017?内蒙古模拟）已知椭圆C：率为
+
=1（a＞b＞0）的离心
，点B是椭圆C的上顶点，点Q在椭圆C上（异于B点）．
，
），求椭圆C的方程；
（Ⅰ）若椭圆V过点（﹣
（Ⅱ）若直线l：y=kx+b与椭圆C交于B、P两点，若以PQ为直径的圆过点B，证明：存在k∈R，
=．
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a和b的关系，将（﹣
，
）代入
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椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，求得P的横坐标，求得丨BP丨，利用直线垂直的斜率关系求得丨BQ丨，由
=．
【解答】解：（Ⅰ）椭圆的离心率e==将点（﹣
，
）代入椭圆方程
，
=，
=
，则a2=2b2，
=，根据函数零点的判断即可存在k∈R，
，解得：a2=4，b2=2，
∴椭圆的标准方程为：
（Ⅱ）由题意的对称性可知：设存在存在k＞0，使得由a2=2b2，椭圆方程为：
，
将直线方程代入椭圆方程，整理得：（1+2k2）x2+4kbx=0， 解得：xP=﹣
，则丨BP丨=
×
，
由BP⊥BQ，则丨BQ丨=×丨丨=?，
由=．，则2×=?，
整理得：2k3﹣2k2+4k﹣1=0，
设f（x）=2k3﹣2k2+4k﹣1，由f（）＜0，f（）＞0， ∴函数f（x）存在零点， ∴存在k∈R，
=．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，弦长公式，考查函数零点的判断，考查计算能力，属于中档题．
21．（12分）（2017?内蒙古模拟）已知函数f（x）=lnx﹣ax+，其中a＞0． （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
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（Ⅱ）证明：（1+）（1+）（1+）…（1+）＜e
（n∈N*，n≥2）．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出lnx＜x﹣，令x=1+（n≥2），得到ln（1+）＜（﹣
），累加即可证明结论．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）=
，令h（x）=﹣ax2+x﹣a，
记△=1﹣4a2，当△≤0时，得a≥， 若a≥，则﹣ax2+x﹣a≤0，f′（x）≤0， 此时函数f（x）在（0，+∞）递减， 当0＜a＜时，由﹣ax2+x﹣a=0，解得：x1=
，x2=
，
显然x1＞x2＞0，故此时函数f（x）在（
，）递增，
在（0，）和（，+∞）递减；
综上，0＜a＜时，函数f（x）在（，）递增，
在（0，）和（，+∞）递减，
a≥时，函数f（x）在（0，+∞）递减；
（Ⅱ）证明：令a=，由（Ⅰ）中讨论可得函数f（x）在区间（0，+∞）递减，
又f（1）=0，从而当x∈（1，+∞）时，有f（x）＜0，即lnx＜x﹣令x=1+
（n≥2），
，
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则ln（1+=（
+
）＜（1+）＜
）﹣=（
﹣
=），
从而：ln（1+）+ln（1+）+ln（1+
﹣
）+…+ln（1++
﹣+
﹣
）
）
＜（1﹣+﹣+﹣+…+=（1+﹣﹣则有ln（1+可得（1+
）＜（1+）=，
）+ln（1+
）+…+ln（1+
）＜e
）＜，
）+ln（1+）（1+
）（1+）…（1+
（n∈N*，n≥2）．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查不等式的证明以及导数的应用，是一道中档题．
四、选修4-4：极坐标与参数方程
22．（10分）（2017?内蒙古模拟）已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为
（φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．
（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线θ=
（ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（I）曲线C1的参数方程为
（φ为参数），利用平方关
系消去φ可得普通方程，展开利用互化公式可得极坐标方程．曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程． （II）把直线θ=
（ρ∈R）代入
ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，整理可得：ρ2﹣2ρ
即可得出．
（φ为参数），利用平
x+2y﹣5=0，
﹣5=0，利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=
【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为方关系消去φ可得：
+（y+1）2=9，展开为：x2+y2﹣2
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