发布时间 : 星期四 文章(鍏ㄥ浗鐢插嵎)楂樿冩暟瀛﹀ぇ浜岃疆鎬诲涔犱笌澧炲垎绛栫暐涓撻涓変笁瑙掑嚱鏁般佽В涓夎褰笌骞抽潰鍚戦噺绗?璁插钩闈㈠悜閲忕粌涔犵悊 - 鐧惧害鏂囧簱更新完毕开始阅读83874ee6e73a580216fc700abb68a98270feac53
1→1→ B.AB+AD
421→2→ D.AB-AD
23
1→1→
A.AB-AD231→1→C.AB+DA32
答案 (1)D (2)D
→→→→1→
解析 (1)∵AD=AB+BD=AB+BC,
3
→→1→ ∴2AO=AB+BC,
3→1→1→ 即AO=AB+BC.
26112
故λ+μ=+=.263
→→→
(2)在△CEF中,有EF=EC+CF.→1→
因为点E为DC的中点,所以EC=DC.
2
→2→
因为点F为BC的一个三等分点,所以CF=CB.
3
→1→2→1→2→ 所以EF=DC+CB=AB+DA2323
1→2→ =AB-AD,故选D.
23 热点二 平面向量的数量积
1.数量积的定义:a·b=|a||b|cos θ.
2.三个结论
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(1)若a=(x,y),则|a|=a·a=x2+y2.
(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则→ |AB|=
x2-x12+y2-y12.
(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,
a·bx1x2+y1y2
则cos θ==.|a||b|x21+y21x22+y22
→→→→→→
例2 (1)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,CP=3PD,AP·BP=2,则AB·AD
的值是________.
π5π?? (2)若b=?cos ,cos ?,|a|=2|b|,且(3a+b)·b=-2,则向量a,b的夹角为( )1212??
B.
2π
3
A.C.π 3
π D.
65π 6
答案 (1)22 (2)C
→→→1→1→→→→→1→→→→→1→→
解析 (1)由CP=3PD,得DP=DC=AB,AP=AD+DP=AD+AB,BP=AP-AB=AD+AB-AB=
4444→3→→→→1→→3→→21→→3→2
AD-AB.因为AP·BP=2,所以(AD+AB)·(AD-AB)=2,即AD-AD·AB-AB=2.
444216
→2→2→→
又因为AD=25,AB=64,所以AB·AD=22.
(2)b=cos =cos
22
2
π25π+cos1212
π2π
+sin=1,1212
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所以|b|=1,|a|=2.
由(3a+b)·b=-2,可得3a·b+b=-2,
故a·b=-3.
a·b-33
故cos〈a,b〉===-.|a||b|2×12
5π
又〈a,b〉∈[0,π],所以〈a,b〉=,故选C.
6
思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法:数量积的定义,坐标运算,数量积的几何意义; (2)可以利用数量积求向量的模和夹角,向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算.→→跟踪演练2 (1)已知点A,B,C,D在边长为1的方格点图的位置如图所示,则向量AD在AB方
向上的投影为( )
2
B.-1
5 5
A.-
5 5
D.
213C.-
13
→→→→
(2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则DE·CB的值为________;DE·DC
的最大值为________. 答案 (1)A (2)1 1
→→
解析 (1)不妨以点A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,易得AD=(-2,3),AB=
→→
AD·AB-25→→
(4,2),所以向量AD在AB方向上的投影为==-.→525|AB|
故选A.
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(2)方法一 分别以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,
→→
则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(t,0),t∈[0,1],则DE=(t,-1),CB=(0,-
→→
1),所以DE·CB=(t,-1)·(0,-1)=1.
→→→
因为DC=(1,0),所以DE·DC=(t,-1)·(1,0)=t≤1,
→→
故DE·DC的最大值为1.
方法二 由图知,
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