发布时间 : 星期五 文章(鍏ㄥ浗鐢插嵎)楂樿冩暟瀛﹀ぇ浜岃疆鎬诲涔犱笌澧炲垎绛栫暐涓撻涓変笁瑙掑嚱鏁般佽В涓夎褰笌骞抽潰鍚戦噺绗?璁插钩闈㈠悜閲忕粌涔犵悊 - 鐧惧害鏂囧簱更新完毕开始阅读83874ee6e73a580216fc700abb68a98270feac53
→→→→→
无论E点在哪个位置,DE在CB方向上的投影都是CB=1,∴DE·CB=|CB|·1=1,
→→
当E运动到B点时,DE在DC方向上的投影最大即为DC=1,
→→→
∴(DE·DC)max=|DC|·1=1. 热点三 平面向量与三角函数
平面向量作为解决问题的工具,具有代数形式和几何形式的“双重型”,高考常在平面向量与
三角函数的交汇处命题,通过向量运算作为题目条件. 例3 已知函数f(x)=2cosx+23sin xcos x(x∈R).
π
(1)当x∈[0,)时,求函数f(x)的单调递增区间;
2
(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=3,f(C)=2,若向量m=(1,sin
A)与向量n=(2,sin B)共线,求a,b的值.
π2
解 (1)f(x)=2cosx+3sin 2x=cos 2x+3sin 2x+1=2sin(2x+)+1,
6
πππ
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
262
ππ
解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
36
π
因为x∈[0,),
2
π
所以f(x)的单调递增区间为[0,].
6π
(2)由f(C)=2sin(2C+)+1=2,
6
2
9 / 23
π1
得sin(2C+)=,
62
ππ13π
而C∈(0,π),所以2C+∈(,),
666
π5π
所以2C+=π,解得C=.663
因为向量m=(1,sin A)与向量n=(2,sin B)共线,
sin A1
所以=.sin B2
a1
由正弦定理得=,①
b2
π222
由余弦定理得c=a+b-2abcos,
3
即a+b-ab=9.②
联立①②,解得a=3,b=23.
思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中,一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题,如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系,利用向量模表述三角函数之间的关系等;另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题,在解决此类问题的过程中,只要根据题目的具体要求,在向量和三角函数之间建立起联系,就可以根据向量或者三角
函数的知识解决问题.
跟踪演练3 已知平面向量a=(sin x,cos x),b=(sin x,-cos x),c=(-cos x,-sin
x),x∈R,函数f(x)=a·(b-c). (1)求函数f(x)的单调递减区间;2?α? (2)若f??=,求sin α的值.
?2?2
解 (1)因为a=(sin x,cos x),b=(sin x,-cos x),
c=(-cos x,-sin x),
所以b-c=(sin x+cos x,sin x-cos x),
f(x)=a·(b-c)=sin x(sin x+cos x)+cos x(sin x-cos x).
则f(x)=sinx+2sin xcos x-cosxπ?? =sin 2x-cos 2x=2sin?2x-?.4??
ππ3π
则当2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
242
3π7π
即kπ+≤x≤kπ+,k∈Z时,函数f(x)为减函数.
88
2
2
2
2
10 / 23
3π7π?? 所以函数f(x)的单调递减区间是?kπ+,kπ+?,k∈Z.88??
π?? (2)由(1)知,f(x)=2sin?2x-?,
4??
2?α? 又f??=,?2?2
π?π?12?? 则2sin?α-?=,sin?α-?=.4?24?2??π?π?2?2? 因为sin?α-?+cos?α-?=1,
4?4???
π?3? 所以cos?α-?=±.4?2?π?π???α- 又sin α=sin???+4?4????
π?π?ππ?? =sin?α-?cos +cos?α-?sin ,
4?4?44??
π?3? 所以当cos?α-?=时,
4?2?
12322+6
sin α=×+×=;22224
π?312322-6?当cos?α-?=-时,sin α=×-×=.
4?222224?
→1→→
1.如图,在△ABC中,AD=AB,DE∥BC交AC于E,BC边上的中线AM交DE于N,设AB=a,
3
→→→
AC=b,用a,b表示向量AN.则AN等于( )
11 / 23
1
B.(a+b)
31
D.(a+b)
8
1
A.(a+b) 21
C.(a+b) 6
押题依据 平面向量基本定理是向量表示的基本依据,而向量表示(用基底或坐标)是向量应
用的基础. 答案 C
解析 因为DE∥BC,所以DN∥BM,
ANAD
则△AND∽△AMB,所以=.AMAB
→1→ 因为AD=AB,
3→1→ 所以AN=AM.
3
因为M为BC的中点,
→1→→1
所以AM=(AB+AC)=(a+b),
22
→1→1
所以AN=AM=(a+b).
36
故选C.
→→→→
2.如图,BC、DE是半径为1的圆O的两条直径,BF=2FO,则FD·FE等于( )
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