发布时间 : 星期三 文章2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)更新完毕开始阅读838ba7b0001ca300a6c30c22590102020640f2c3
∴cos＝2sincos，
若cos＝0，可得B＝（2k+1）π，k∈Z不成立， ∴sin＝， 由0＜B＜π，可得B＝
；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1， 由余弦定理可得b＝
2
2
＝，
2
2
由三角形ABC为锐角三角形，可得a+a﹣a+1＞1且1+a﹣a+1＞a， 解得＜a＜2，
可得△ABC面积S＝a?sin
＝
a∈（
，
）．
19．（2019?新课标Ⅲ）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B﹣CG﹣A的大小．
【解答】证明：（1）由已知得AD∥BE，CG∥BE，∴AD∥CG， ∴AD，CG确定一个平面， ∴A，C，G，D四点共面，
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，∴AB⊥面BCGE， ∵AB?平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCGE． 解：（2）作EH⊥BC，垂足为H，
∵EH?平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，
第17页（共23页）
∴EH⊥平面ABC，
由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°， ∴BH＝1，EH＝以H为坐标原点，
，
的方向为x轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系H﹣xyz，
），
则A（﹣1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，＝（1，0，
），
＝（2，﹣1，0），
设平面ACGD的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝3，得＝（3，6，﹣），
又平面BCGE的法向量为＝（0，1，0）， ∴cos＜
＞＝
＝
，
∴二面角B﹣CG﹣A的大小为30°．
20．（2019?新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝2x﹣ax+b． （1）讨论f（x）的单调性；
（2）是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为﹣1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）f′（x）＝6x﹣2ax＝6x（x﹣）． 令f′（x）＝6x（x﹣）＝0，解得x＝0，或．
①a＝0时，f′（x）＝6x≥0，函数f（x）在R上单调递增．
②a＞0时，函数f（x）在（﹣∞，0），（，+∞）上单调递增，在（0，）上单调递减．
第18页（共23页）
2
2
3
2
③a＜0时，函数f（x）在（﹣∞，），（0，+∞）上单调递增，在（，0）上单调递减．
（2）由（1）可得：
①a≤0时，函数f（x）在[0，1]上单调递增．则f（0）＝b＝﹣1，f（1）＝2﹣a+b＝1，解得b＝﹣1，a＝0，满足条件．
②a＞0时，函数f（x）在[0，]上单调递减．
≥1，即a≥3时，函数f（x）在[0，1]上单调递减．则f（0）＝b＝1，f（1）＝2﹣a+b＝﹣1，解得b＝1，a＝4，满足条件．
③0＜＜1，即0＜a＜3时，函数f（x）在[0，）上单调递减，在（，1]上单调递增．则最小值f（）＝化为：﹣若：﹣若：﹣
﹣a×
+b＝﹣1，
+b＝﹣1．而f（0）＝b，f（1）＝2﹣a+b，∴最大值为b或2﹣a+b． +b＝﹣1，b＝1，解得a＝3
＞3，矛盾，舍去．
，或0，矛盾，舍去．
+b＝﹣1，2﹣a+b＝1，解得a＝±3
综上可得：存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为﹣1且最大值为1． a，b的所有值为：
，或
．
，D为直线y＝﹣上的动点，过D作C的两条
21．（2019?新课标Ⅲ）已知曲线C：y＝切线，切点分别为A，B． （1）证明：直线AB过定点；
（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．
【解答】解：（1）证明：y＝
的导数为y′＝x，
设切点A（x1，y1），B（x2，y2），即有y1＝，y2＝
，
切线DA的方程为y﹣y1＝x1（x﹣x1），即为y＝x1x﹣
，
第19页（共23页）
切线DB的方程为y＝x2x﹣
，
联立两切线方程可得x＝（x1+x2）， 可得y＝x1x2＝﹣，即x1x2＝﹣1，
直线AB的方程为y﹣＝
（x﹣x1），
即为y﹣
＝（x1+x2）（x﹣x1），
可化为y＝（x1+x2）x+， 可得AB恒过定点（0，）；
（2）法一：设直线AB的方程为y＝kx+， 由（1）可得x1+x2＝2k，x1x2＝﹣1， AB中点H（k，k+），
由H为切点可得E到直线AB的距离即为|EH|，
2
可得＝，
解得k＝0或k＝±1，
即有直线AB的方程为y＝或y＝±x+，
由y＝可得|AB|＝2，四边形ADBE的面积为S△ABE+S△ABD＝×2×（1+2）＝3； 由y＝±x+，可得|AB|＝
?
＝4，
此时D（±1，﹣）到直线AB的距离为＝；
E（0，）到直线AB的距离为＝，
+
）＝4
；
则四边形ADBE的面积为S△ABE+S△ABD＝×4×（法二：
第20页（共23页）