发布时间 : 星期三 文章(最新版)反例在数学中的应用毕业设计更新完毕开始阅读83974f3454270722192e453610661ed9ad5155e4
Application of counterexample in Mathematics
Abstract
Higher Algebra and Mathematical Analysis are important basic courses, it's very important to the formation of mathematical thoughts of students and learning of the following courses．The counterexample is an important thought in Mathematical, and it plays an irreplaceable role in the understanding of the concept, and nature．The proper use of counterexamples, for a correct understanding of the concept, and develop their logical thinking ability, will play a very important role．This paper mainly through the learning of Higher Algebra and Mathematical Analysis, lists the counterexamples in textbooks, and strengthen the understanding of basic concepts and geometrical theorems．
Key Words: counterexample ,Higher Algebra, Mathematical Analysis．
目 录
前 言 ..................................................................................................................................... 1 第一章 高等代数中的反例 ................................................................................................. 2 1.1 1.2 1.3 1.4
矩阵中的反例 ......................................................................................................... 2 多项式中的反例 ..................................................................................................... 7 线性空间中的反例 ................................................................................................. 9 线性变换中的反例 ............................................................................................... 10
第二章 数学分析中的反例 ............................................................................................... 11 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
数列中的反例 ....................................................................................................... 11 函数中的反例 ....................................................................................................... 13 微商与微分中的反例 ........................................................................................... 15 微积分中的反例 ................................................................................................... 17 级数中的反例 ....................................................................................................... 17 偏导数与全微分中的反例 ................................................................................... 20
致 谢 ................................................................................................................................... 21 参考文献 ............................................................................................................................. 22
前 言
“全等的三角形是相似的”这一命题是正确的，我们需要加以严格的证明；然而对于不正确的命题“相似的三角形一定是全等的”，那么我们就要找到两个相似但并不是全等的三角形，即举出一个反例．由此看来，对于命题来说，给出证明和构造反例是同等重要的．
数学分析中包含了一套抽象且形式化的理论体系，概念难以理解，学习中容易犯
一些表象的错误，比如，我们会将一些函数的特定性质通过四则运算用到另一个函数上．反例是解决此类问题最有效的方法．由于数学分析思维的严谨性，定理性质的给出一般都带有一些限制条件，这些条件是不可忽视的．恰当地使用反例，对于深入理解定理的条件，准确掌握概念的本质，可以起到无可比拟的作用．此外，反例对于数学学科的理论发展和完善也起着非常重要的作用．
构造反例，可以深化理解基本概念，可以充分掌握定理的本质，可以有效纠正错误的命题或定理；通过构造反例，从反面消除一些易出错的条件，严格区分那些相近易混的概念，把握概念的要素和本质．定理证明中，反例具有同等重要的作用，通过严密的证明才可以肯定一个命题的正确性，而反例即可否定一个命题的正确性．
这篇论文的主要内容是举出关于数学中的反例，包括高等代数和数学分析两部分．在举反例的过程中，所涉及到的定理和命题均参照高等代数第三版和数学分析第二版的教材，为了加强对问题的理解，我们举出了一些具有说明性的反例．
第一章 高等代数中的反例
高等代数是数学专业的一门重要基础课程之一, 为进一步学习其他后续知识奠定了基础，它包括了对多项式、矩阵、线性空间、线性变换的学习．下面列出在学习过程中遇到的需要用反例来判断命题或定理的正确性的例子．
1.1 矩阵中的反例
矩阵是数学中应用广泛的极其重要的概念，在高等代数中，它占着十分重要的地位，它贯穿了整个高等代数的学习．下面就列出矩阵的运算以及不同性质矩阵的之间的关系所运用的反例． 矩阵乘积中的反例
定义1.1[1] 设，，那么矩阵，其中
cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj??aikbkj，
k?1n称为与的乘积，记为
．
1. 我们知矩阵的加法满足交换律，而矩阵的乘法不适合交换律． (1)有意义，当时，没有意义；
(2)和都有意义，当时，它们乘积是阶数不等的矩阵； (3)和都是阶的． 例 取
，
则
?11??11??23?AB????????，
211234??????