发布时间 : 星期四 文章(最新版)反例在数学中的应用毕业设计更新完毕开始阅读83974f3454270722192e453610661ed9ad5155e4
?11??11??32?BA????????
?12??21??53?故，即矩阵不适合乘法交换律．
2. 矩阵的乘法不满足消去律：，未必有． 例 取
，，
显然
，
而．
3. 一般情况下，． 例 取
，
则
，(AB)2???3?1??3?1??6?31????31?????12，，，
所以
故并不是恒成立的．
只要，就有．
4. 定理 设和是数域上的两个矩阵，那么． 那么，是否也成立？答案是不成立，存在反例．
例 阶矩阵
，
，而，故不成立．
5. 阶矩阵，，且，，未必有．
例 当时，取
，
有 ，， 但是
?4??2?，?
．
对称阵中的反例
1. 对称阵之和仍为对称阵，对称阵之积未必是对称阵。 例
，
则
，
不是对称阵．
2. 实对称阵和对角阵相似，但和对角阵相似的未必对称． 例 取
， ，
有，即与相似，是对角阵，而不是对称阵．
3. 反对称矩阵是指满足条件的矩阵，那么反对称矩阵之积未必是反 对称矩阵．
例
，
均为反对称矩阵．而
，
当，时，是对称阵，但不是反对称矩阵．
正定阵中的反例
1. 正定阵的和还是正定阵，但正定阵的差未必是正定阵．
例
，
都是正定阵，但 不是正定阵．
2. 正定阵的积未必是正定阵． 例
，
都是正定阵． 而
不是正定阵．
3. 是正定阵，则的主对角线上元素都大于零．但反之不真． 例
，
都不是正定阵．
正交阵中的反例
正交阵[2]是指满足条件的阶实数矩阵．
1. 我们知道正交阵之积仍为正交阵，那么正交阵之和是不是正交阵？ 例 以下两个阶矩阵
，
都是正交矩阵，因为，，但 而
?0???0????E (A?B)?(A?B)??4??????4???所以正交阵的和不一定是正交阵．
2. 若是正交阵，则，但反之不真． 例
，，
而，
，
，都不是正交阵．
等价矩阵、合同矩阵、相似矩阵
定义1.2 设是数域上两个级矩阵，如果可以找到数域上的级可逆矩阵，使得，就说相似于．
定义1.3 矩阵与称为等价的，如果可以由经过一系列初等变换得到．
定义1.4 数域上矩阵，成为合同的，如果有数域上可逆的矩阵，使
．
1. 合同矩阵一定是等价矩阵，但反之不真． 例 取 与等价，因为
假设与合同，即存在可逆矩阵，使得． 设
，
则
，
故
?ac??10??ab??ac??ab??a2?c2C?AC???bd????01????cd?????bd????cd?????ab?cd则
，（矛盾），
故不存在可逆阵，则与不是合同的．
2. 相似矩阵一等是等价矩阵，但反之不真． 例 仍取 则与等价．
若与相似，则存在可逆阵，使得，又，故与不相似． 3. 相似矩阵未必合同． 例
，，
则取
，，
可得，即与相似．
假设与合同，设 则
ab?cd?b2?d2??