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都是线性变换．
易知 ， 都是子空间； ?????????，? 都是子空间．
可是 ??(x1,x2,x3?)??(x1,x2,x3?)?(x?x2,x2 ,x)1??(x1,x2,x3)??(x1?x2,x2,x3)?(?x1?x2,x2,x3)
因而．
第二章 数学分析中的反例
数学分析也是数学专业的一门重要基础课之一, 是进一步学习数学其他课程的基础．它是一门逻辑性很强的课程，它有许多重要的概念都是用抽象的数学语言来描述的, 在学习过程中很难理解其中含义, 因此在学习中经常使用反例来理解学习中时常出现的错误, 充分理解一些定理和概念．
这部分对课本中容易出现错误的概念和定理用反例来加深理解和学习．
2.1 数列中的反例
1. 定理[3]：设，，则
ⅰ）lim(an?bn)?liman?limbn?a?b；
n??n??n??ⅱ）liman?bn?liman?limbn?a?b；
n??n??n??ⅲ）．
那么，对于两个发散的数列，是否有：（1）之和发散；（2）之积发散，（3）其商发散？
答案是不成立，有反例可以说明．例如， (1)，．
因为，，则发散的，是发散的．但是数列
limxn?yn?lim(n?1)?(?n)?1
n??n??却是收敛的．
(2)，．
这两个数列都是发散的，但是数列
limxn?yn?lim[(?1)n?1]?[(?1)n?1]?0
n??n??却是收敛的．
(3)，．
这两个数列都发散，但是 是收敛的。
2. 定理 有极限存在的数列必有界． 反之不真，存在反例． 例 数列
数列在0和2之间跳动，但当时，并不能接近于一个常数，因此极限并不存在．
3. 定理 单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在．
然而，收敛数列单调有界，是否成立呢？不成立，存在反例：收敛但是不单调的数列．
例 ， 其极限，但是对于任意正整数，都有
，，
即，．所以，数列并不单调．
4. 若，，反之是否成立？ 反之不成立，例如，
．
，但是不存在．
5. 若收敛，是否就收敛？ 不能断定，存在反例．例如，
，
收敛，但是发散
6. 若，中一个是收敛数列，一个是发散数列，那么和
是否也是发散数列．
例 取 ，， 则 ，， 故和是收敛数列．
2.2 函数中的反例
函数的极限
1. 定义2. 1[4] 设在点附近（除点外）有定义,是一定数．若 对任意给定的，存在，当时, 有
,
则称是当趋于的极限．
（1）我们会认为如果在点处有极限, 在就有定义．根据定义：在点附近（除点外）有定义，这说明函数在是否存在极限与函数在处是否有定义无关．
例
在处虽然无定义，但．在处无定义, 但极限是存在的．
（2）若在处有定义, 但在处的极限与在处的函数值无关． 例
，
尽管在处有定义，但在时极限不存在．
（3）在函数极限定义中将改为，是否有？结论是不成立的． 例 ，，， 则，，当时, 总有 成立,但．
2. 如果存在，但不存在，那么不存在[6]． 此命题错误，存在反例． 例
，
因为 不存在，，但
lim[f(x)?g(x)]?limxsinx??x??1?limxx??1xsin1x?1．
3. 若函数，则，但反之不真． 例
lim|f(x)|?lim|x?0x?0sinx|sinx||?lim?1； x?0|x||x|sinxsinx?lim?1， |x|x?0?xx?0limf(x)?lim??x?0x?0limf(x)?lim??x?0sinxsinx?lim??1． ?x?0|x|?x故不存在．
函数的连续性
1. 定义2.2[4] 设函数在在包含一个开区间有定义,如果
,
则称在是连续的．
有定义可见，在点连续需要满足下列三个条件[4]: ⅰ)在点附近以及点有定义； ⅱ)在点的极限存在； ⅲ) 极限值等于．
三个条件任何一个不满足都不能说明连续．
(1)若在点没有定义．
例 在点无定义，但是此函数在点不连续． (2) 若在点的极限不存在．
例 ,不存在，从图像[3]可看出此函数在点不连续． （3）若极限值不等于． 例
，
，从图像[2]可以看出此函数在点不连续．