发布时间 : 星期四 文章高考数学之冲破压轴题讲与练 专题14 圆锥曲线中的探索性问题【解析版】更新完毕开始阅读8397dcb55bcfa1c7aa00b52acfc789eb162d9ef5
x2y26例4.（2019·云南师大附中高三月考）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，短袖长为4.
ab3（1）求椭圆C的标准方程.
（2）设直线l过点（2,0）且与椭圆C相交于不同的两点A、B，直线x?6与x轴交于点D,E是直线x?6上异于D的任意一点，当AE?DE?0时，直线BE是否恒过x轴上的定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.
uuuruuurx2y2【答案】（1）??1（2）直线BE恒过x轴上的定点(4,0)，详见解析
124【解析】
?c6??a3??（1）由题意得?b?2.解得a?23,b?2，
?a2?b2?c2???x2y2所以椭圆C的标准方程为??1
124（2）直线BE恒过x轴上的定点(4,0) 证明如下：
uuuruuur因为AE?DE?0.所以AE?DE，
因为直线l过点(2,0)
①当直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为x?2，
?26???26?26?不妨设A??2,3??,B??2,?3??,.则E??6,3??
??????此时，直线BE的方程为y?所以直线BE过定点(4,0)；
②直线l的斜率存在且不为零时，设直线l的方程为x?my?2(m?0)，A?x1,y1?,B?x2,y2?，所以
6(x?4)， 3E?6,y1?.
直线BE:y?y1?y2?y1y?x?6?(x?6)，令y?0，得x?6??12 x2?6y2?y1即x?6??y1x2?6y1，又x2?my2?2
y2?y1所以x?6??y1?my2?2??6y1
y2?y1即证6??y1?my2?2??6y1?4
y2?y1即证2?y1?y2??my1y2?0?*?
?x2y2?1??22联立?124,消x得m?3y?4my?8?0，
?x?my?2???因为点(2,0)在C内，所以直线l与C恒有两个交点，
8
m2?38m?8m?2?0 代入（*）中得2?y1?y2??my1y2??2m?3m?3所以直线BE过定点(4,0)，
由韦达定理得，y1?y2??4m,m2?3y1y2??综上所述，直线BE恒过x轴上的定点(4,0).
x2例5.（2019·湖南衡阳市八中高三月考（理））已知椭圆C:?y2?1的左右顶点为A，B，点P，Q为椭
4圆上异于A，B的两点，直线AP与直线BQ的斜率分别记为k1,k2，且k2?4k1． （Ⅰ）求证：BP?BQ；
（Ⅱ）设?APQ，?BPQ的面积分别为S1，S2，判断理由．
S1是否为定值，若是求出这个定值，若不是请说明S2S1【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）为定值4，详见解析
S2【解析】
（Ⅰ）设P?x1,y1?，∵A(?2,0),B(2,0)， 则kAP?kBPy1y1y12???2， x1?2x1?2x1?41x12x1222又?y1?1，则y1?1?，代入上式，得kAP?kBP??,
444由已知：kAP?111kBQ，则kAP?kBP???kBQ?kBP， 444从而kBO?kBP??1，即BP?BQ． （Ⅱ）设直线PQ的方程为：y?kx?b，
?y?kx?b?(1?4k2)x2?8kbx?4(b2?1)?0， 联立得：?22?x?4y?4由V?0?4k2?1?b2，
8kb4(b2?1)由韦达定理：x1?x2??，x1x2?，
1?4k21?4k2uuuruuurBP?BQ由（1），则BP?BQ?0，
则?x1?2??x2?2??y1y2?0??x1?2??x2?2???kx1?b??kx2?b??0， 即：(1?k)x1x2?(kb?2)(x1?x2)?4?b?0， 所以：12k2?16kb?5b2?0， 得：k??当k??2215b或k??b， 2611b时，直线PQ:y?b(?x?1)，不合题意， 22556当k??b时，直线PQ:y?b(?x?1)，过定点M(,0)，
66511又S1?|AM||y2?y1|，S2?|MB||y2?y1|，
226?(?2)S1|AM|5???4，为定值． 则
6S2|MB|2?5
y2x22例6.（2019·天津高三开学考试）已知椭圆2?2?1?a?b?0?的离心率为，以椭圆的上焦点F为
ab2圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x?y?4?0截得的弦长为22. （1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆左顶点做两条互相垂直的直线l1，l2，且分别交椭圆于M，N两点（M，N不是椭圆的顶点），探究直线MN是否过定点，若过定点则求出定点坐标，否则说明理由.
?2?y2x2【答案】(1) ??1 (2) MN恒过定点?,0?，见解析
?3?84【解析】 （1）∵e?22，∴b?c?a， 222设圆F的方程为x2??y?c??c2，圆心为设d为圆心到直线x?y?4?0的距离，
?0,c?，半径为c，
则d=c?42，
?22?222d?∵??2???r，
???c?4?∴
222?2?c2，即c?8c?20?0，
?c?2??c?10??0，∵c?0，∴c?2.
y2x2所以椭圆的方程为??1.
84（2）设l1的方程为x?ty?2，l2的方程为x??y?2，
1t?y2?2x2?8?022联立?，可得y?2?ty?2??8?0，
?x?ty?2整理2t?1y?8ty?0，设M?x1,y1?，
22??∵M不是椭圆的顶点，