发布时间 : 星期一 文章(浙江专用)高考数学总复习第九章平面解析几何第9讲圆锥曲线的综合问题课时作业更新完毕开始阅读844bf436f9c75fbfc77da26925c52cc58ad69061
第9讲 圆锥曲线的综合问题
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1.过抛物线y＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( ) A.有且只有一条 C.有且只有三条
B.有且只有两条 D.有且只有四条
2
解析 ∵通径2p＝2，又|AB|＝x1＋x2＋p，∴|AB|＝3＞2p，故这样的直线有且只有两条. 答案 B
bx2y2
2.直线y＝x＋3与双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的交点个数是( )
aabA.1
B.2
C.1或2
D.0
解析 因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点. 答案 A
3.经过椭圆＋y＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，设O为坐标2→→
原点，则OA·OB等于( ) A.－3
1B.－
3
1
C.－或－3
3
1 D.±
3
babax2
2
解析 依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x－1)，即
y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐2
1→→→→?4，1?，
标分别为(0，－1)，OB＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得OA·OB?33?∴OA·
3??1
＝－.
3答案 B
4.抛物线y＝x到直线x－y－2＝0的最短距离为( ) A.2
72 B. 8
C.22
D.52
6
2
x2
43
解析 设抛物线上一点的坐标为(x，y)，则d＝
??1?27??－?x－?－?2
|x－y－2||－x＋x－2|??2?4?
2
＝2
＝2
，
172∴x＝时， dmin＝. 28答案 B
x2y2
5.已知A，B，P是双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，
ab2
若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB＝，则该双曲线的离心率为( )
3A.5 2
B.
6 2
C.2
D.
15 3
解析 设A(x1，y1)，P(x2，y2)根据对称性，得B点坐标为 (－x1，－y1)，因为A，P在双曲线上，
??所以?两式相减，得kkxy??a－b＝1，
2
22
222
x2y211
2－2＝1，abPAb22PB＝2＝，
a3
a2＋b2515
所以e＝2＝，故e＝. a33
2
答案 D 二、填空题
x2y2
6.已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)，F(2，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆
ab相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为________.
c＝2，??b?a＝2，xy解析 由题意得?＝1，解得?∴椭圆C的方程为＋＝1.
42a?b＝2，
??a＝b＋c，
2
2
2
2
2
2
答案
x2y2
4
＋＝1 2
2
7.已知抛物线y＝ax(a＞0)的焦点到准线的距离为2，则直线y＝x＋1截抛物线所得的弦长等于________.
11解析 由题设知p＝＝2，∴a＝. 2a4
12
抛物线方程为y＝x，焦点为F(0，1)，准线为y＝－1.
41??y＝x2，
联立?4消去x，
??y＝x＋1，
整理得y－6y＋1＝0，∴y1＋y2＝6，∵直线过焦点F，
2
∴所得弦|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋1＋y2＋1＝8. 答案 8
8.(2017·金华月考)过椭圆
x2
16
＋＝1内一点P(3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是4
y2
________；此弦的长为________.
解析 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由于A，B两点均在椭圆上，故＋＝1，＋＝1，
164164（x1＋x2）（x1－x2）（y1＋y2）（y1－y2）
两式相减得＋＝0.
164又∵P是A，B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2， ∴kAB＝
x21y21x22y22
y1－y23
＝－. x1－x24
3
∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3).
4
3x＋4y－13＝0，??22
2
即3x＋4y－13＝0.由?xy消去y整理得13x－78x＋105＝0，x1＋x2＝6，x1x2＝
＋＝1，??164105222
，|AB|＝1＋k|x1－x2|＝1＋k（x1＋x2）－4x1x2＝13539
. 13
答案 3x＋4y－13＝0
三、解答题
539
13
?3?1＋?－?·?4?
2
1052
6－4×＝
13
x2y2
9.设F1，F2分别是椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线l与Eab相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列. (1)求E的离心率；
(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程. 解 (1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a， 4
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a，
3
l的方程为y＝x＋c，其中c＝a2－b2.
y＝x＋c，??22
222
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组?xy消去y，化简得(a＋b)x2＋2＝1，??ab－2aca（c－b）
＋2acx＋a(c－b)＝0，则x1＋x2＝22，x1x2＝.
a＋ba2＋b2
2
2
2
2
2
2
2
2
44ab因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|＝2[（x1＋x2）－4x1x2]，即a＝22，故
2
2
a2＝2b2，
所以E的离心率e＝ca2－b22
a＝a＝2
.
(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知
2
xx1＋x2
0＝
＝－ac2cc2a2＋b2＝－3，y0＝x0＋c＝3
. 由|PA|＝|PB|，得k0＋1
PN＝－1，即
yx＝－1， 0
得c＝3，从而a＝32，b＝3.故椭圆E的方程为x2
18＋y2
9
＝1.
10.已知椭圆C：x2a＋y22
2b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为2
.
直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为
10
3
时，求k的值. ?a解 (1)由题意得?＝2，?c＝2
?a2，
?a2
＝b2
＋c2
.
解得b＝2，所以椭圆C的方程为x2＋y2
42
＝1.
?y＝k（x(2)由?－1），?22
2222
?x?4＋y2
＝1，得(1＋2k)x－4kx＋2k－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)， 2
2
x＋x4k2k－4
12＝1＋2k2，x1x2＝1＋2k2，
所以|MN|＝（x2
2
2－x1）＋（y2－y1） ＝（1＋k2
）[（x21＋x2）－4x1x2]
3a＋b