发布时间 : 星期三 文章2017-2018学年高中数学必修4全一册学案（29份） 人教课标版1（新教案）更新完毕开始阅读847cb3c1bf23482fb4daa58da0116c175e0e1e6e
． 弧 度 制
角度制与弧度制 [提出问题]
问题：在角度制中，把圆周等分成份，其中的一份是多少度？ 提示：°.
问题：半径为的圆的周长是π，即周长为π时，对应的圆心角是°，那么弧长为π时，对应的圆心角是多少？
提示：°.
问题：在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？ 提示：确定． [导入新知] ．角度制与弧度制 ()角度制
①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②度的角：周角的作为一个单位． ()弧度制
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． ．任意角的弧度数与实数的对应关系
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是. ．角的弧度数的计算
如果半径为的圆的圆心角α所对弧的长为，那么，角α的弧度数的绝对值是α＝. [化解疑难]
角度制和弧度制的比较
()弧度制与角度制是以不同单位来度量角的单位制． ()弧度的角与度的角所指含义不同，大小更不同．
()无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．
()用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“”通常省略不写.
角度与弧度的换算 [提出问题]
问题：周角是多少度？是多少弧度？ 提示：°，π.
问题：半圆所对的圆心角是多少度？是多少弧度？ 提示：°，π.
问题：既然角度与弧度都是角的度量单位制，那么它们之间如何换算？ 提示：π＝°. [导入新知] ．弧度与角度的换算
角度化弧度 °＝π °＝π °＝ ≈ .一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 弧度 [化解疑难]
角度与弧度互化的原则和方法 ()原则：牢记°＝π ， 充分利用°＝ ， ＝°进行换算． ()方法：
设一个角的弧度数为α，角度数为， 则α ＝°；°＝· .
弧度制下的扇形的弧长及面积公式 [导入新知] 扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为，弧长为，α(<α<π)为其圆心角，则
° ° ° ° ° ° ° ° ° π 弧度化角度 π ＝° π ＝° ＝°≈° 扇形的弧长 扇形的面积 [化解疑难] α为度数 ＝ ＝ α为弧度数 ＝α ＝＝α 扇形的弧长及面积公式的记忆
()扇形的弧长公式的实质是角的弧度数的计算公式的变形：α＝?＝α.
()扇形的面积公式＝与三角形的面积公式极为相似(把弧长看作底，把半径看作高)，可以类比记忆．
角度与弧度的换算 [例] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： ()°；()－°；()；()－. [解] ()°＝×＝； ()－°＝－×＝－； ()＝×°＝°； ()－＝－°＝－°. [类题通法] 角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π ＝°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．
[活学活用]
已知α＝°，β＝，γ＝，θ＝°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ的大小． 答案：α<β<γ<θ＝φ
扇形的弧长公式及面积公式的应用 [例] ()已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为 . ()已知一半径为的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？
[解] ()
()设扇形的弧长为，由题意得π＝＋，所以＝(π－)，所以扇形的圆心角是＝(π－)， 扇形的面积是＝(π－). [类题通法]
弧度制下涉及扇形问题的攻略
()明确弧度制下扇形的面积公式是＝＝α(其中是扇形的弧长，是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．
()涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度． [活学活用]
已知扇形的周长是，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
答案：＝ 时，α＝，扇形面积最大，最大面积为 .
用弧度制表示角的集合 [例] 用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
[解] ()如题图①，∵°角的终边与－°角的终边相同，将－°化为弧度，即－， 而°＝×＝，
∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为错误!.
()如题图②，∵°＝，°＝，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线上的角为α＝π＋，∈，
又终边在轴上的角为β＝π＋，∈，
从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为. [类题通法]
用弧度制表示角应关注的三点
()用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一．
()在表示角的集合时，可以先写出一周范围(如－π～π，～π)内的角，再加上π，∈. ()终边在同一直线上的角的集合可以合并为{＝α＋π，∈}；终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为.
在进行区间合并时，一定要做到准确无误． [活学活用]
以弧度为单位，写出终边落在直线＝－上的角的集合． 答案：αα＝π＋π，∈