发布时间 : 星期一 文章十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题07 解三角形更新完毕开始阅读84934945864769eae009581b6bd97f192279bfdb
又由a-c=b,有a=2c.
6222224c2√6所以,cos A=b+c-a=6c+c-. =2√62bc2√6c44(2)在△ABC中,由cos A=√6,可得sin A=√10.
4于是cos 2A=2cosA-1=-, sin 2A=2sin A·cos A=√15. 4
2
1
4所以,cos(2A-6)=cos 2A·cos6+sin 2A·sinπ=√15-√3.
68ππ
36.(2014·北京·理T15)如图,在△ABC中,∠B=3,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos ∠ADC=. (1)求sin ∠BAD; (2)求BD,AC的长.
【解析】(1)在△ADC中,因为cos∠ADC=, 所以sin∠ADC=
4√3. 717π
17所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B =
4√311√3×2?7×27=14.
=
8×144√373√33√3(2)在△ABD
AB·sin∠BAD
中,由正弦定理,得BD=sin∠ADB=3. 12
在△ABC中,由余弦定理得AC=AB+BC-2AB·BC·cos B=8+5-2×8×5×=49.所以AC=7. 37.(2014·湖南·理T18)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=√7. (1)求cos ∠CAD的值;
(2)若cos ∠BAD=-,sin ∠CBA=
14√7√2122222
6,求BC的长.
【解析】(1)如题图,在△ADC中,由余弦定理,得
222
cos∠CAD=AC+AD-CD. 2AC·AD故由题设知,cos∠CAD=7+1-42√7=
2√7. 7(2)如题图,设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD. 因为cos∠CAD=
2√7√7,cos∠BAD=-, 714所以sin∠CAD=√1cos2∠CAD=-α=sin(∠BAD-∠CAD)
√1(2√7)-72=
√21,sin∠BAD=
7√1-cos2∠BAD=√1-(-
√73√21.于是sin =)14142=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD =
3√212√7√7√21×?×()-141477=2. =
AC
. sin∠CBA
√3在△ABC中,由正弦定理,
AC·sinαBC=sin∠CBA
√7×√3BCsinα
故
=
2√21=3. 2π3
π
638.(2014·湖南·文T19)如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=√7,EA=2,∠ADC=,∠BEC=3.
(1)求sin ∠CED的值; (2)求BE的长.
【解析】如题图,设∠CED=α.
(1)在△CDE中,由余弦定理,得EC=CD+DE-2CD·DE·cos∠EDC. 于是由题设知,7=CD+1+CD,即CD+CD-6=0. 解得CD=2(CD=-3舍去). 在△CDE中,由正弦定理,得
2π
2
22
2
2
ECsin∠EDC
√3=
CD
. sinα
于是,sin α=CD·sin3=2×2=√21, EC7√7即sin∠CED=√21. 7
(2)由题设知,0<α<3,于是由(1)知, cos α=√1-sin2α=√1-21=2√7. 497而∠AEB=
2π
-α,所以3
π
cos∠AEB=cos(3-α)=coscos α+sinsin α=-cos α+√3sin α=-1×2√7+
3322272π2π2π1
√32×
√217=
√714.在Rt△EAB中,cos∠AEB=
EABE=BE,故BE=cos∠AEB=
2
22√714=4√7.
39.(2013·全国2·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B. (1)求B;
(2)若b=2,求△ABC面积的最大值. 【解析】(1)由已知及正弦定理得
sin A=sin Bcos C+sin Csin B. ① 又A=π-(B+C),故
sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C. ② 由①②和C∈(0,π)得sin B=cos B, 又B∈(0,π),所以B=4.
(2)△ABC的面积S=acsin B=√2ac.
4
12π
由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos4. 又a2+c2≥2ac,故ac≤42-√2π
,当且仅当a=c时,等号成立.因此△ABC面积的最大值为√2+1.
40.(2013·全国1·理T17)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=√3,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°. (1)若PB=,求PA;
(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.
12
【解析】(1)由已知得∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.
在△PBA中,由余弦定理得PA2=3+-2×√3×cos 30°=.故PA=√7.
214
12
74
(2)设∠PBA=α,由已知得PB=sinα.在△PBA中,由正弦定理得
=sin30α,化简得√3cos α=4sin sin150°(°-)
√3sinα
α.所以tan α=√3,即tan∠PBA=√3.
4
4
41.(2012·全国·文T 7)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=√3asin C-ccos A. (1)求A;
(2)若a=2,△ABC的面积为√3,求b,c.
【解析】(1)由c=√3asin C-ccos A及正弦定理得
√3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. 由于sin C≠0,所以sin(A-)=.
62又0 42.(2012·全国·理T17)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acos C+√3 asin C-b-c=0. (1)求A; (2)若a=2,△ABC的面积为√3,求b,c. 【解析】(1)由acos C+√3asin C-b-c=0及正弦定理得sin Acos C+√3sin Asin C-sin B-sin C=0. 因为B=π-A-C, 所以√3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. 由于sin C≠0,所以sin(A-)=. 62又0 【解析】由题意结合三角形的内角和,可得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,整理得sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,则sin C(sin A+cos A)=0,因为sin C>0,所以sin A+cos A=0,即tan A=-1,因为A∈(0,π),所以A=.由正弦定理sinA=sinC,得 3π4a c 2sin4π1 3π=sinC,即sin C=,所以C=6,故选B. 2√22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 π1 π 12 π1 π 1243.(2010·陕西·理T17)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+√3)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20√3海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达D点需要多长时间?