发布时间 : 星期二 文章第二讲空间中的平行与垂直（理科 区实黄）更新完毕开始阅读855dc41b6edb6f1aff001f7c
第二讲 空间中的平行与垂直
一、课堂训练 1．(2012年高考山东卷)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF. (1)求证：BD⊥平面AED； (2)求二面角FBDC的余弦值．（本小题可以不做）
[解析] (1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，
所以∠ADC＝∠BCD＝120°. 又CB＝CD，所以∠CDB＝30°， 因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.
又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD?平面AED， 所以BD⊥平面AED.
(2)解法一 由(1)知AD⊥BD，所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直．
以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图(1)所示的空间直角坐标系．不妨设CB＝1，
31
则C(0，0，0)，B(0，1，0)，D(2，－2，0)，F(0，0，1)．
(1)
→→33
因此BD＝(2，－2，0)，BF＝(0，－1，1)． 设平面BDF的一个法向量为m＝(x，y，z)， →→则m·BD＝0，m·BF＝0， 所以x＝3y＝3z，
取z＝1，则m＝(3，1，1)．
由于CF→
＝(0，0，1)是平面BDC的一个法向量， 则cos〈m，CF→〉＝m·CF→
15
|m||CF→＝＝|5
5，
所以二面角F-BD-C的余弦值为5
5.
解法二 如图(2)，取BD的中点G，连接CG，FG，由于CB＝CD，因此CG⊥BD.
又FC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， 所以FC⊥BD.
由于FC∩CG＝C，FC，CG?平面FCG， 所以BD⊥平面FCG， 故BD⊥FG，
所以∠FGC为二面角F-BD-C的平面角． 在等腰三角形BCD中，由于∠BCD＝120°， 因此CG＝1
2CB.又CB＝CF， 所以CF＝CG2＋CF2＝5CG， 故cos∠FGC＝5
5，
因此二面角F-BD-C的余弦值为5
5.
变式训练1：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，M、N、G分别是棱CC1、AB、BC的中点．且CC1＝2AC.
(1)求证：CN∥平面AMB1； (2)求证：B1M⊥平面AMG.
证明：(1)设线段AB1的中点为P，连接NP、MP， 11
∵CM∥2AA1，NP∥2AA1，∴CM∥NP， ∴四边形CNPM是平行四边形， ∴CN∥MP， ∵CN?平面AMB1， MP?平面AMB1， ∴CN∥平面AMB1.
(2)∵CC1⊥平面ABC， ∴平面CC1B1B⊥平面ABC，
∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC1B1B，∴B1M⊥AG. ∵CC1⊥平面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC， ∴CC1⊥AC，CC1⊥B1C1， 设AC＝2a，则CC1＝22a， 在Rt△MCA中，AM＝ 在Rt△B1C1M中，B1M＝
CM2＋AC2＝6a，
2B1C21＋C1M＝6a.
∵BB1∥CC1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB， ∴AB1＝B1B2＋AB2＝C1C2＋AB2＝23a， 注意到AM2＋B1M2＝AB2B1M⊥AM， 1，∴
小结：空间线线、线面位置关系
1．线面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α.
2．线面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.
3．线面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α. 4．线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α a∥b.
2．(2012年高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点． 求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE.
[证明] (1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC. 又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1. 又AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1. 因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.
又因为CC1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1. 由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD?平面ADE，A1F?平面ADE， 所以A1F∥平面ADE.
变式训练2：如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O.将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥，点M是棱BC的中点，DM＝32.
(1)求证：平面ABC⊥平面MDO； (2)求三棱锥M-ABD的体积． 解析：(1)证明：由题意得OM＝OD＝3， 因为DM＝32，所以∠DOM＝90°，OD⊥OM. 又因为四边形ABCD为菱形，所以OD⊥AC. 因为OM∩AC＝O，所以OD⊥平面ABC，