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从图1.3－6中可以看出：
当?远小于1时，??0，这时受迫振动与干扰力可近似认为是同相的，随着?的增加，相位差?也随之增大。
在共振区附近，?的变化最为剧烈，当发生共振时，??1，??无关。这时干扰力的相位比受迫振动的相位超前此出现了很大的振幅。
经过共振区后，随着?的增加，?也增加，并趋向于?。这时，受迫振动的位移与干扰力反向。
?2，它与阻尼的大小
?，或者说干扰力与振动的速度同相，因21.4 任意荷载作用下单自由度体系的反应
由于实际结构所受到的荷载往往并不是简谐荷载，本节研究任意荷载作用下单自由度体系的反应，可以看到，对于能用解析方法计算的一些简单荷载函数，其反应可以通过直接积分来求得，然而，对于一般荷载情况，借助于数值积分方法是必要的。
一﹑冲击荷载和杜哈梅积分
冲击荷载是在一段很短的时间内作用的荷载，这种荷载相应的冲量等于力与其持续时间的乘积。如图1.4－1所示，在时间为?时，力F(?)在时间间隔d?内的冲量可以用阴影部分的面积表示，其值为F(?)d?。根据动量定理mdv?F(?)d?得到速度增量为：
dv?F(?)d?m （1-4.1）
图1.4－1 冲击荷载的一般荷载函数
由于瞬时冲量作用的时间极短，可以认为该体系在瞬时冲量作用下的振动是以
y(0)?0，y??dv为初始条件的自由振动，将这种速度变化引入无阻尼单自由度体系的位
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移响应方程，作为时间?时的初始速度v0，这样在稍后的某一时刻t时产生的位移为：
dy(t)?F(?)d?sin?(t??) （1-4.2） m?因此，在荷载F(?)的连续作用下，在时间t时刻所产生的总位移可以用微分位移dy(t)从时刻t?0到时刻t进行积分来表示：
1ty(t)?F(?)sin?(t??)d? （1-4.3） ?m?0式（1-4.3）表示作用于无阻尼振子上的激励荷载F(?)所产生总位移，它包括相应于零初始条件y0?0和v0?0的运动的稳态和瞬态两部分。为了计入v0?0时的初始位移y0和初始速度v0的效果，只需要把由初始条件所得到的解（1.1.4）式与（1-4.3）相加即可，因此，任意荷载作用下的无阻尼单自由度体系的总位移为：
1ty(t)?y0cos?t?0sin?t?F(?)sin?(t??)d? （1-4.4） ?0m??对于一些简单的外力函数如恒力、矩形荷载、三角形荷载等可以通过式（1-4.4）得到其显式积分，当动力荷载较复杂时，有时不可能求出解析解，在实际运用中，对于所给定的时程0~t，常常使用数值积分法。
二﹑无阻尼体系杜哈梅积分的数值计算
应用三角函数关系和零初始条件，将式（1-4.4）的杜哈梅积分写成如下形式：
vy(t)?1?A(t)sin?t?B(t)cos?t? （1-4.5）
m?式中：
A(t)??F(?)cos??d?
0tB(t)??F(?)sin??d?0t （1-4.6）
由此可见，动力反应的计算归结为计算积分A(t)和B(t)，可以使用任何数值积分方法来完成其计算。为了得出动力反应的时程曲线，一个基本思想是把所给定的时程划分为许多区间（即时间间隔），然后计算对应于所有区间端点的动力反应。显然，区间的划分越细，计算结果越精确。通常要使区间的长度小于体系固有周期的1／10。常用于杜哈梅积
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分的数值计算方法是梯形法和辛普森法。对于一般函数I(?)，设：
A(t)??I(?)d? （1-4.7）
0t用梯形法所进行的基本运算是：
1A(t)???(I0?2I1?2I2?......?2In?1?2In) （1-4.8）
2用辛普森法所进行的基本运算是：
1A(t)???(I0?4I1?2I2?......?4In?1?2In) （1-4.9）
3t对于辛普森法，n?必须是偶数。由于梯形法基于用函数I(?)代替分段线性函数，
??而辛普森法则基于用函数I(?)代替分段抛物线函数，所以其解都是近似的。
计算杜哈梅积分的另一种方法是基于假定加载函数由一给定的分段线性连续函数来获得积分的解析解。该方法除了原有的舍入误差之外，不会造成积分的数值近似。
图1.4－2 分段线性荷载函数
假设动力函数F(?)可以用图1.4－2所示的分段线性函数来近似，为了得到一条完整的反应时程曲线，将式（1-4.6）以增量的形式来表示：
A(ti)?A(ti?1)??F(?)cos??d?
ti?1ti 15
B(ti)?B(ti?1)??F(?)sin??d? （1-4.10）
ti?1ti式中A(ti)和B(ti)代表ti时的积分值，假设动力函数F(?)可以用分段线性函数逼近，即可写成：
F(?)?F(ti?1)??Fi(??ti?1) ti?1???ti （1-4.11） ?ti式中： ?Fi?F(ti)?F(ti?1)，?ti?ti?ti?1 将式（1-4.11）代入式（1-4.10）积分得：
?Fi?1???sin?ti?sin?ti?1? A(ti)?A(ti?1)??F(ti?1)?ti?1?????ti??Fi?2?cos?ti?cos?ti?1???tisin?ti?ti?1sin?ti?1?? ??ti?Fi?1????cos?ti?cos?ti?1? B(ti)?B(ti?1)??F(ti?1)?ti?1????ti??Fi?2?sin?ti?sin?ti?1???ticos?ti?ti?1cos?ti?1?? （1-4.12） ??ti式（1-4.12）即为（1-4.6）在任意时刻t?ti时计算积分的递推公式。 三﹑有阻尼体系杜哈梅积分的数值计算
由杜哈梅积分所表示的有阻尼体系的反应，将产生初始速度dv?F(?)d? 的冲量mF(?)d?代入相应的有阻尼自由振动方程，便可以得到当时间为t时的微分位移：
1dy(t)?e????t???F(?)d?sin?D?t??? （1-4.13）
m?D对整个荷载区间上的这些微分项求和得到杜哈梅积分所表示的有阻尼体系的反应：
y(t)?1m?D?t0F(?)e????t???sin?D?t???d? （1-4.14）
在数值计算时，可以按无阻尼体系的情况进行，请自己推导。
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