发布时间 : 星期日 文章(五年高考真题)2016届高考数学复习第四章第五节解三解形理(全国通用)解析更新完毕开始阅读85f6143eb9f67c1cfad6195f312b3169a451eaa2
22
由正弦定理得c＝b，
3π1
又因为A＝，bcsin A＝3，
42所以bc＝62，故b＝3.
9．(2015·陕西，17)△ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a ，b，c.向量m＝(a，3b)与n＝(cos A，sin B)平行． (1)求A；
(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积．
解 (1)因为m∥n，所以asin B－3bcos A＝0， 由正弦定理，得sin Asin B－3sin Bcos A＝0， 又sin B≠0，从而tan A＝3， π
由于0＜A＜π，所以A＝.
3
π222
(2)法一 由余弦定理，得a＝b＋c－2bccos A，而a＝7，b＝2，A＝，
3得7＝4＋c－2c，即c－2c－3＝0， 因为c＞0，所以c＝3，
133
故△ABC的面积为S＝bcsin A＝. 22法二 由正弦定理，得
72
＝， πsin Bsin
3
2
2
从而sin B＝
21， 7
27
又由a＞b，知A＞B，所以cos B＝，
7
?π?故sin C＝sin(A＋B)＝sin?B＋?
3??
ππ321
＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝. 3314133
所以△ABC的面积为S＝absin C＝.
22
π
10．(2014·北京，15)如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点
3
D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝. (1)求sin∠BAD； (2)求BD，AC的长．
17
1
解 (1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，
743
所以sin∠ADC＝.
7
所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcos∠B－cos∠ADCsin∠B＝333＝. 214
(2)在△ABD中，由正弦定理得 33
8×
14AB·sin∠BADBD＝＝＝3.
sin∠ADB43
7
122222
在△ABC中，由余弦定理得AC＝AB＋BC－2AB·BC·cos∠B＝8＋5－2×8×5×＝49.
2所以AC＝7.
11．(2014·陕西，16)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)； (2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值． (1)证明 ∵a，b，c成等差数列， ∴a＋c＝2b.
由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B. ∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)， ∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．
(2)解 ∵a，b，c成等比数列，∴b＝ac. 由余弦定理得
2
4311
×－×727
a2＋c2－b2a2＋c2－ac2ac－ac1
cos B＝＝≥＝，当且仅当a＝c时等号成立．
2ac2ac2ac2
1
∴cos B的最小值为. 2
12．(2014·安徽，16)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，
A＝2B.
(1)求a的值；
?π?(2)求sin?A＋?的值．
4??
解 (1)因为A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B.
a2＋c2－b2
由正、余弦定理得a＝2b·. 2ac因为b＝3，c＝1，所以a＝12，a＝23.
2
b2＋c2－a29＋1－121
(2)由余弦定理得cos A＝＝＝－. 2bc63
由于0 2 122 1－＝. 93 ππ222?1?24－2?π?故sin?A＋?＝sin Acos＋cos Asin＝×＋?－?×＝. ?4?4432?3?13．(2013·北京，15)在△ABC中，a＝3，b＝26，∠B＝2∠A. (1)求cos A的值； (2)求c的值． 解 (1)因为a＝3，b＝26，∠B＝2∠A， 所以在△ABC中，由正弦定理得 326 sin A＝sin 2A. 所以2sin Acos A266sin A＝3.故cos A＝3. (2)由(1)知，cos A＝ 6 3 ， 所以sin A＝1－cos2A＝33 . 又因为∠B＝2∠A， 所以cos B＝2cos2 A－1＝13. 所以sin B＝1－cos2 B＝22 3 . 在△ABC中，sin C＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B＝53 9. 所以c＝asin Csin A＝5. 26