发布时间 : 星期四 文章第十三篇 推理证明、算法、复数第4讲 数学归纳法更新完毕开始阅读8654b6d0d15abe23482f4dd9
【例2】?是否存在正整数m使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9对任意自然数n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由． [审题视点] 观察所给函数式，凑出推理要证明所需的项．
解 由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9得，f(1)＝36，f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝34×36，由此猜想：m＝36. 下面用数学归纳法证明： (1)当n＝1时，显然成立；
(2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；当n＝k＋1时，[2(k＋1)＋7]·3k1＋9＝(2k＋7)·3k1＋27－27＋2·3k1＋9＝3[(2k
＋
＋
＋
＋7)·3k＋9]＋18(3k1－1)，
－
由于3k－1－1是2的倍数，故18(3k－1－1)能被36整除，这就是说，当n＝k＋1时，f(n)也能被36整除．
由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除，m的最大值为36.
证明整除问题的关键“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等
手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证．
【训练2】 用数学归纳法证明an＋1＋(a＋1)2n－1(n∈N*)能被a2＋a＋1整除． 证明 (1)当n＝1时，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1可被a2＋a＋1整除． (2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时， ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除， 则当n＝k＋1时，
ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a·ak＋1＋a·(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，由假设可知a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除，(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1也能被a2＋a＋1整除， ∴ak＋2＋(a＋1)2k＋1也能被a2＋a＋1整除， 即n＝k＋1时命题也成立， ∴对任意n∈N*原命题成立．
考向三 用数学归纳法证明不等式
?1?【例3】?用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式?1＋?
?3?
11?2n＋1??
?1＋??·?·?1＋?>均成立． ?5??2n－1?2
[审题视点] 本题用数学归纳法证明不等式，在推理过程中用放缩法，要注意放缩的“度”．
145证明 (1)当n＝2时，左边＝1＋＝；右边＝.
332∵左边>右边，∴不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立， 11?2k＋1??1?
???1＋??·即?1＋?·?1＋>. ?3??5??2k－1??2则当n＝k＋1时，
1??1??1??1???1＋??1＋?·?·?1＋??1＋ ?3??5??2k－1??2?k＋1?－1??2k＋12k＋22k＋24k2＋8k＋4>·＝＝ 22k＋122k＋122k＋14k2＋8k＋32k＋32k＋12?k＋1?＋1>＝＝. 22 2k＋12 2k＋1∴当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．
在由n＝k到n＝k＋1的推证过程中，应用放缩技巧，使问题得以简化，
用数学归纳法证明不等式问题时，从n＝k到n＝k＋1的推证过程中，证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．
1
【训练3】 已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．试
31111比较＋＋＋?＋与1的大小，并说明理由．
1＋a11＋a21＋a31＋an解 ∵f′(x)＝x2－1，an＋1≥f′(an＋1)，∴an＋1≥(an＋1)2－1.
∵函数g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x在区间[1，＋∞)上单调递增，于是由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，进而得a3≥(a2＋1)2－1≥24－1＞23－1， 由此猜想：an≥2n－1.
下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当n＝1时，a1≥21－1＝1，结论成立；
②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时结论成立，即ak≥2k－1，则当n＝k＋1时，由g(x)＝(x＋1)2－1在区间[1，＋∞)上单调递增知，ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，即n＝k＋1时，结论也成立．
由①、②知，对任意n∈N*，都有an≥2n－1. 11
即1＋an≥2n，∴≤n，
1＋an2∴
11111111?1?
?n＜1. ＋＋＋?＋≤＋2＋3＋?＋n＝1－??2?1＋a11＋a21＋a31＋an2222
考向四 归纳、猜想、证明
【例4】?数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)． (1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
[审题视点] 利用Sn与an的关系式求出{an}的前几项，然后归纳出an，并用数学归纳法证明．
解 (1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1. 3
当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝.
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当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝. 415
当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝. 82n－1
由此猜想an＝n－1(n∈N*)．
2
21－1
(2)证明 ①当n＝1时，左边＝a1＝1，右边＝0＝1，左边＝右边，结论成立．
22k－1
②假设n＝k(k≥1且k∈N)时，结论成立，即ak＝k－1，那么n＝k＋1时，
2
*
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1， ∴2ak＋1＝2＋ak，
2k－12＋k－12＋ak22k＋1－1
∴ak＋1＝＝＝，
222k这表明n＝k＋1时，结论成立，
2n－1
由①②知猜想an＝n－1成立．
2
(1)归纳、猜想、证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳
性问题和存在性问题，本例从特例入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．
(2)数列是定义在N*上的函数，这与数学归纳法所运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决． 1【训练4】 由下列各式1＞，
211
1＋＋＞1，
23
11111131＋＋＋＋＋＋＞，
2345672111
1＋＋＋?＋＞2，
231511151＋＋＋?＋＞，
23312
?，你能得到怎样的一般不等式，并加以证明．
111n
答案 猜想：第n个不等式为1＋＋＋?＋n＞(n∈N*)．
232－121
(1)当n＝1时，1＞，猜想正确．
2
(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时猜想正确， 111k即1＋＋＋?＋k＞，
232－12那么，当n＝k＋1时，
111111k111k1＋＋＋?＋k＋k＋k＋?＋k＋1＞＋k＋k＋?＋k＋1＞＋
232－122＋12－1222＋12－12k2kk1k＋1
. ＋＋＋＋?＋k＋1＝＋k＋1＝＋＝2k12k12222221
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1
即当n＝k＋1时，不等式成立． ∴对于任意n∈N*，不等式恒成立．