发布时间 : 星期六 文章浙江省杭州二中2020届高三3月月考 数学试题(含答案)更新完毕开始阅读865e031951e2524de518964bcf84b9d529ea2c55
→
所以sin θ＝|cos〈n，HG〉|＝
2
2
2
→|n·HG|
0＋1＋1×
?1?222
2＋0＋?－??2?
＝
34＝， 17342×
2
12
故直线GH与平面PBC所成的角θ的正弦值为x34. 34
x20． (1)证明 设f(x)＝e－x－1，令f′(x)＝e－1＝0，得到x＝0.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 故f(x)≥f(0)＝0，即e≥x＋1(当且仅当x＝0时取等号)．故an＋1＝e1
xan－1≥an ，且取不到等号，所以an＋
>an.
1. n＋1
(2)解 先用数学归纳法证明an≤1－
1
①当n＝1时，a1≤1－成立．
2
?1a－1②假设当n＝k(k≥1，k∈N)时，不等式ak≤1－成立，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝ek≤ek?1＝
k＋1
*
11e1k?1≤
11＋
1k＋1
＝k＋1111*
＝1－，即ak＋1≤1－也成立．故对n∈N都有an≤1－. k＋2k＋2k＋2n＋1
所以bn＝1－an≥
1. n＋1
11?1111?11??1t*
取n＝2－1(t∈N)，b1＋b2＋…＋bn ≥＋＋…＋ ＝＋?＋?＋… ＋?t－1＋t－1＋…＋t?.
2?23n＋12?34??2＋12＋2111t*
即b1＋b2＋…＋bn ≥＋＋…＋＝. 其中t＝log2n＋1，t∈N，
2222
当n→＋∞时，t→＋∞，→＋∞，
2
所以不存在满足条件的实数M，使得b1＋b2＋…＋bn≤M对任意n∈N成立． 21．
*
t 13 / 16
22．(1)解 因为f(x)＝e－esin x，所以f′(x)＝e－e(sin x＋cos x)＝e(1－sin x－cos x)＝
xxxxx?π??x?e?1－2sin?x＋??，
4????
π?π3π?2?π??π?∵x∈?0，?，∴x＋∈?，?，∴sin?x＋?≥，所以f′(x)≤0， 2?4?4?24?4??
?π?故函数f(x)在?0，?上单调递减，函数f(x)的最大值为f(0)＝1－0＝1；
2??
π?π?f(x)的最小值为f ??＝e2－e2sin ＝0，所以函数f(x)的值域为[0,1]．
2?2?(2)解 原不等式可化为e(1－sin x)≥k(x－1)(1－sin x)，(*) 因为1－sin x≥0恒成立，故(*)式可化为e≥k(x－1)．
xxππ?π?xx令g(x)＝e－kx＋k，x∈?0，?，则g′(x)＝e－k，
2??
?π?x当k≤0时，g′(x)＝e－k>0，所以函数g(x)在?0，?上单调递增，故g(x)≥g(0)＝1＋k≥0，所以－
2??
1≤k≤0；
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当k>0时，令g′(x)＝e－k＝0，得x＝ln k，
所以当x∈(0，ln k)时，g′(x)＝e－k<0；当x∈(ln k，＋∞)时，g′(x)＝e－k>0. π
所以当ln k＜，即0
2
ππ?π??π?当ln k≥，即k≥e2时，函数g(x)在?0，?上单调递减，g(x)min＝g??＝e2－k·＋k≥0，解得
2?22??2?
π2πππxxxe≤k≤
e， π?12π2综上，－1≤k≤
e. π?12x－1
π2(3)证明 令h(x)＝e
1?3?23x－1
＋?x－?－1，则h′(x)＝e＋x－.
2?2?2
令t(x)＝h′(x)＝e
x－1
3x－1
＋x－，则t′(x)＝e＋1>0，所以h′(x)在R上单调递增，
2
1?1???3??3?13?由h′??＝e2－1＜0，h′??＝e4－＞0，故存在x0∈?，?，使得h′(x0)＝0，
4?2??4??24?
即ex0－113
＝－x0. 2
所以当x∈(－∞，x0)时，h′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，h′ (x)>0. 故当x＝x0时，函数h(x)有极小值，且是唯一的极小值，
x0－1故函数h(x)min＝h(x0)＝e3， 2
3?23?1?3?23??231?5?21?1???＋?x0－?－1＝－?x0－?＋?x0－?－1＝×??x0－?－1?－＝?x0－?－2?2?2?2?2??22?2?2?2???
5?231?35?2311?1?3?2?13?x－1
因为x0∈?，?，所以?x0－?－>×?－?－＝>0，故h(x)＝e＋?x－?－1>0，
2?22?42?2322?2?2??24?
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即e
x－1
1?3?2
>－?x－?＋1. 2?2?
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