发布时间 : 星期三 文章《解析》福建省厦门双十中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）Word版含解析更新完毕开始阅读8691f4a368eae009581b6bd97f1922791788bed3
∴S△ABC=×
×=3．
点评： 本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及三角形的面积公式，属基础题． 18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，a=3，
．
（Ⅰ） 求b的值； （Ⅱ） 求
的值．
考点： 余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦定理． 专题： 解三角形．
分析： （Ⅰ） 直接利用正弦定理推出bsinA=asinB，结合已知条件求出c，利用余弦定理直接求b的值；
（Ⅱ） 利用（Ⅰ）求出B的正弦函数值，然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值，利用
两角差的正弦函数直接求解
解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，有正弦定理
的值．
，可得bsinA=asinB，
又bsinA=3csinB，可得a=3c，又a=3，所以c=1． 由余弦定理可知：b=a+c﹣2accosB，即b=3+1﹣2×3×cosB， 可得b=． （Ⅱ）由
2
2
2
2
2
2
2
，
，可得sinB=，
所以cos2B=2cosB﹣1=﹣， sin2B=2sinBcosB=所以
=
=
=
．
，
点评： 本题考查余弦定理，正弦定理以及二倍角的正弦函数与余弦函数，两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．
19．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=5，S5=55． （Ⅰ）求an及Sn； （Ⅱ）若数列{
}的前n项和Tn，试求Tn并证明不等式≤Tn＜1成立．
考点： 数列与不等式的综合；等差数列的前n项和；数列的求和． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，利用a2=5，S5=55求出首项与公差，即可求解an及Sn；
（Ⅱ）化简
，利用裂项法求出前n项和Tn，通过判断前n项和Tn的单调性，求出最
小值即可证明结果． 解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， ∵a2=5，S9=99，∴
，得a5=11
∴3d=a5﹣a2=6，∴d=2，a1=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
∴an=2n+1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （Ⅱ）
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分） ∴
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分） 又因为所以
，所以
=
﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
点评： 本题考查数列求和，等差数列的应用，数列的函数的特征，数列与不等式的关系，是中档题．
20．（12分）已知椭圆E的方程：
=1（a＞b＞0），它的两个焦点为
，P为椭圆的一点（点P在第三象限上），且△PF1F2
的周长为20+10，C（﹣2，0）． （Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求出椭圆的左顶点M的坐标，MP交圆P与另一点N的坐标，若点A在椭圆E上，使得
=﹣32，求点A的坐标．
考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （Ⅰ）直接利用已知条件列出方程组，求出椭圆的几何量，即可求椭圆E的方程； （Ⅱ）若以点P为圆心的圆过椭圆的左顶点M与点C（﹣2，0），MP交圆P与另一点N，设
A（x，y），通过=﹣32，求解求点A的坐标．
，…（1分）
解答： 解：（Ⅰ）依题意得：
则有…﹣﹣﹣﹣…（2分） ∴a=10，b=5，…（4分） 椭圆E的方程：
…（5分）
（Ⅱ）由（ 1 ）得M（﹣10，0），C（﹣2，0）…（6分） 设点P（m，n），则有又：
，
，∴n=﹣4，即P（﹣6，﹣4），…（8分）
∵P为MN的中点，可得N（﹣2，﹣8）…（9分） 设A（x，y），∴∴分） ∴
，…（11分）
，
…（10
得x=﹣6，y=﹣4时，∴A（﹣6，﹣4）…﹣﹣﹣…（12分）
点评： 本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力． 21．（12分）经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进
行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为
元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需
求．
（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数； （Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
考点： 根据实际问题选择函数类型． 专题： 应用题；函数的性质及应用．
分析： （Ⅰ）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系； （Ⅱ）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．
解答： 解：（Ⅰ）由题意知，
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分） 将
代入化简得：
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（0≤x≤a）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （Ⅱ）
当a≥1时，x∈（0，1）时y'＞0，所以函数时y'＜0，所以函数
在（0，1）上单调递增x∈（1，a）
在（1，a）上单调递减
促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分） 当a＜1时，因为函数
在（0，1）上单调递增
在[0，a]上单调
递增，
所以x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大． 综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；
当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分） （注：当a≥1时，也可：当且仅当
时，上式取等号）
，
点评： 本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题． 22．（14分）已知函数f（x）=xlnx+1，g（x）=ax﹣1﹣lnx （Ⅰ）求f（x）的最小值；