发布时间 : 星期一 文章《解析》福建省厦门双十中学2015届高三上学期期中数学试卷(文科)Word版含解析更新完毕开始阅读8691f4a368eae009581b6bd97f1922791788bed3
(Ⅱ)讨论函数g(x)的单调性; (Ⅲ)是否存在常数K,使
≤ex﹣f'(x)恒成立,若存在,求出K的最大值,若不存
在,说明理由.
考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用.
分析: (Ⅰ)求出函数f(x)的定义域以及导数,通过令f'(x)>0,令f'(x)<0解得函数的单调区间,然后求解f(x)的最小值.
(Ⅱ)求出g(x)的定义域,,通过当a≤0时,g'(x)<0,g(x)
单调递减函数,当a>0时,令g'(x)=0,通过列表可以推出:当a>0 时,g(x)在区间上
是单调增函数,在上(0,)是单调递减函数.
(Ⅲ)转化
(Ⅱ)g(x)=ex﹣1﹣lnx在区间当
,恒成立,为K≤(ex﹣1﹣lnx)?f(x)恒成立,利用
上是减函数,在区间
上是增函数,
时,g(x)=ex﹣1﹣lnx的最小值,由(Ⅰ)可知,当时,f(x)取得最小值,从
而函数y=(ex﹣1﹣lnx)?f(x)在时,取得最小值,求出K的最大值.
解答: 解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞)f(x)的导数f'(x)=1+lnx.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分) 令f'(x)>0,解得从而f(x)在
;令f'(x)<0,解得单调递减,在
.
单调递增.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分) 所以,当
时,f(x)取得最小值1
.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)
(Ⅱ)∵g(x)=ax﹣1﹣lnx,∴f(x)的定义域为(0,+∞),
当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)是单调递减函数;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5分)
当a>0时,令f'(x)=0,∴表: x f′(x) f(x)
(0,) ﹣ ↘
0
极小值
+ ↗
的变化情况如下
从上表可以看出:当a>0 时,f(x)在区间上﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7分)
是单调增函数﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
在上(0,)是单调递减函数﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分) (Ⅲ)∵
ex﹣f'(x)=ex﹣1﹣lnx所以
,恒成
立
即K≤(ex﹣1﹣lnx)?f(x)恒成立﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分)
由(Ⅱ)可知,当a=e,g(x)=ex﹣1﹣lnx在区间上是增函数 故当
时,g(x)=ex﹣1﹣lnx的最小值为
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣上是减函数,在区间
(11分)
又由(Ⅰ)可知,当12 分
故函数y=(ex﹣1﹣lnx)?f(x)当﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(13分) 即K的最大值为
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14
时,取得最小值
∴
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
时,f(x)取得最小值
=1
>0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
分)
点评: 本题考查函数的导数的综合应用,利用函数的导数求解最值,难度大是压轴题.