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河南科技大学数学与统计学院教案 第四部分 级数-3
Fourier 级数
1、Fourier级数的收敛性
若函数f(x)在[??,?]上逐段连续，且每一点的广义左、右导数存在，或f(x)在
[??,?]上逐段单调，则对?x?[??,?]，有
a0?f?x?0??f?x?0????ancosnx?bnsinnx??. 2n?121其中 an??1??f?x?cosnxdx, n?0,1,2,?
?? bn????f?x?sinnxdx, n?1,2,?
??特:(1) f?x?是奇函数时,an?0,n?0,1,2,?. bn? 则有正弦级数
??2?0f?x?sinnxdx,n?1,2,?
?bnsinnx?n?0?f?x?0??f?x?0?.
2 (2) f?x?是偶函数时,bn?0 ,n?1,2,?. an???2?0ancosnxdx ,n?0,1,2,?
f?x?0??f?x?0?a0? 则有余弦级数 . ??ancosnx?22n?12、设f?x?是周期T?2l的函数,在??l,l?上满足收敛定理的条件. an? bn?1ln?xfxcosdx. n?0,1,2,? ??l??ll1ln?xfxsindx. n?1,2,? ????llla0??n?xn?x? f?x?????ancos?bnsin??s?x?——和函数.
2n?1?ll? 当x为f?x?的连续点时,s?x??f?x?. 当x为f?x?的间断点时,s?x??f?x?0??f?x?0?.
22ln?xfxsindx,n?1,2,? ???0ll特：(1)f?x?是奇函数时,an?0,n?0,1,2,?.bn? f?x???bnsinn?0?n?x.(正弦级数) l - 1 -
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(2)f?x?是偶函数时,bn?0,n?1,2,?. an?2ln?xacosdx, n?0,1,2,? nl?0la0?n?x f?x??.(余弦级数) ??ancos2n?1l (3) f?x?, x???l,l?时, 周期延拓,……
(4) f?x?, x??0,l?时, 欲展成正弦级数,进行奇延拓,…… 欲展成余弦级数,进行偶延拓,…… 3、做题基本步骤:
a) 给出f?x?在一个周期内的表达式、图形，检查是否满足收敛定理的条件？ b) 求出傅里叶系数an,bn.
（注意到奇偶性、周期性；分段；分母中有n,n?1,?时，a0,a1,b1,?单独计算.) c) 写出f?x?的傅里叶级数.给出收敛域,和函数. d) 由所得结论解决某些相关问题.如求和s.
五、例题解析
?x,0?x?1?2 ，fx展开为余
例1、已知f(x)的周期T?2,在?0,1?上f(x)????1?2?2x,?x?1?2弦级数的和函数为S(x). x????,???.求S(0)及S?5的值.
?1a0解：??ancosn?x?S(x),x????,???.an?2?f(x)cosn?xdx,n?0,1,2,?
02n?1?2? 由狄利克雷条件，x?0点连续，S?0??f?0??0；
f1?0?f1?022?3 . S?5?S?1?S1?22224?????????? (第一个等式是因周期为2，第二个等式是因偶函数).
???x,x???22，求f(x)的
例2、设f(x)的周期T?2?,在???,??上f(x)????x???0,?2 Fourier级数 .
解：满足狄利克雷条件. f(x)为偶函数，bn?0. an?2???0f?x?cosnxdx?2??xcosnxdx?1?1?cosn??
????22?n???02 - 2 -
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a0?2???0f?x?dx?2???0?x?dx?? . ??24 ∴ f?x?????221?cosn?cosnx . x????,???
8n?1?n2????0, 也可用 cosn???k2n?2k?1 代入 .
?(?1),n?2k??,0?x???22 为正弦级数 .
例3、展开函数f(x)???0,??x???2解：奇延拓 . an?0,n?0,1,2,3,?
bn?2???0f?x?sinnxdx?2???0?sinnxdx?1cosnx2n0??1?cosnn?2
2 由狄利克雷定理，在 x?0,???,?,?2??2??1?cosn?2sinnx. f?x???nn?1?f??0?f??022??. x??时 级数收敛于
242 x?0时 级数收敛于0 .
例4、将函数f(x)?x,x????,??展开为Fourier级数，并求
2????n?1?1.
n2解：f?x?偶，bn?0，n?1,2,3,…… an?2???0nx2cosnxdx?????1??4,2nn?1,2,?
a0?2???02?2xdx?
32 ∴ f?x?? 令x??，有
?2n?4???1?1cosnx?x2,x????,??. 3nn?1??2??2211. ?4???1?cosn???. ∴?2?63nnn?1n?1?n例5、求f(x)?x?x,x???1,1?的Fourier级数. 并问在x?1时级数收敛于何值？
2?2x,0?x?1解： f?x???
0,?1?x?0? - 3 -
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l1 a0?1?f?x?dx??2xdx?1
0l?ll?1l1n?1?1? an?1?f?x?cosn?xdx??2xcosn?xdx?222? ????0l?lln?l?1l1n?1 bn?1?f?x?sinn?xdx??2xsinn?xdx???1??2
0l?lln?l?1nn?1???1?1?1???? x?1时，f?x??1?2??cosn?x?sinn?x? 2?n?1?n2?n?? x??1时，级数收敛于
f??1?0??f?1?0??1.
2
小结与学习建议
1、Fourier级数和幂级数是两类最重要的函数项级数.如果说幂级数的通项从计算角度来看是最为简单的多项式，则Fourier级数的通项就是最简单的周期函数（正弦函数与余弦函数），将一般的周期函数展开为Fourier级数具有重要的理论和应用价值，在许多具体的应用领域中Fourier级数的每项都有物理意义，而幂级数则不是如此.可以说，Fourier级数是至今我们遇到的最优美的一类级数，这从以下几个方面可以看出: 收敛条件（与Taylor相比，很宽）、逐项积分和逐项求导的条件、局部性定理、Fourier展开式的最佳均方逼近性质、三角函数系可以构成无穷维空间的规范正交基等等。
Fourier级数理论的核心部分是Fourier级数的收敛性定理、Parseval等式（体现了周期函数的内在性质）与一些相关结果的证明和应用，而不仅仅是按公式计算Fourier展开式.
2、 Fourier级数的点收敛性是一个十分困难的问题，即使对于连续周期函数也是如此.这方面的研究，早期进展是举出发散的例子，要找到一个连续函数，使得它的Fourier级数在一个点上发散.这不是一个平凡的问题，自从1873年[德]杜-布尔-雷蒙（du-Bois-Reymund）举出了这样的例子之后，发散点处处稠密的连续函数例子也已经找到.若在勒贝格（Lebesgue）可积函数中考虑问题，则柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov[苏],鲁金的学生，世界最著名数学家<概率论公理化1933>）举出了Fourier级数几乎处处发散（1923）和处处发散（1926）的例子（几乎处处是实变函数论中的概念）.
另一方面，鲁金（Lusin[苏]）则猜测连续函数的Fourier级数几乎处处收敛，由于以上的不少反例，在很长的时间内很少有人相信这个猜测是正确的. 这个猜测最终在1966年[瑞典]卡勒松(Carleson)正面解决，他证明了包含连续函数在内的L平方可积函数的Fourier级数一定是几乎处处收敛的，这是一个引起轰动的重大成果.（Carleson是1992年Wolf奖的获得者，Wolf奖很重要，奖给一生做出贡献的人）。
3、无穷级数不仅是研究函数的工具，而且可以用于构造出具有各种特殊性质的函数，其中不少例子在数学发展史上起了重要的作用。如对于连续性与可微性之间的关系在很长时
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间不清楚，许多人猜测连续函数只会在个别点或很少的点上不可微，由于举出了处处连续处处不可微函数的例子，这个问题得到了彻底解决。正式发表的并有严格证明的第一个例子是1872年的Weierstrass函数，它是一个缺项Fourier级数：F(x)??an?1?nsin(bn?x)，其中
b为奇数，0?a?1，ab?1?3?.由于此级数一致收敛，因此函数F的连续性是明显的，
2还可以证明F处处不可微。目前大多数教科书中在介绍时一般用的是1930年的Van der Waerden提出的例子，此例也是用无穷级数来构造的，在几何上相当直观，证明也比较简单。
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