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能力和知识是不可分割、相辅相成的，不能片面地去做一方面而忽略了另一方面！
第十六讲：二次函数
【知识点罗列】基础、对称轴、增减性、解析式、平移、判别式韦达定理、最值及应用、函数方程不等式 【典型例题】 【例1】（二次函数的概念，一般形式，各项的名称，各项系数,二次函数的图像，自变量的取值范围, 二次函数图像的几个特殊点：(0,c)；(x1,0),(x2,0)；(1,a?b?c);(?1,a?b?c)对称轴：x??x?xb?12；顶点：2a2?b?????,?） ?2a4a?1.若m为常数，并且y?2x般形式及a、b、c．
m2?m?mxm2?m?(?m?1)x?m2?2m?3为二次函数，求m，并求出该二次函数的一
?m2?m?2?0【答案】?,解得:m??1.a??3,b?c?0.
?m?2?02.抛物线y?x2?3x?10与x轴的交点为____________,与y轴的交点为___________. 【答案】(?2,0),(5,0),(0,?10)
3.函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象如图所示,且a?b?c?0，则m___?1．【答案】? 4.二次函数y?ax?bx?c的图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）
222 ①a?b?c?0 ②a?b?c?0 ③a?0 ④c?0 ⑤b?4ac?0 ⑥(a?c)?b
2【答案】①③④⑤⑥
5.二次函数y?ax?bx?c的图象如图(1)(2)(3)所示,分别判断4a?2b?c的正负.
(1) (2) (3)
6.y?ax?bx?c过原点及二、三、四象限，则其顶点必在第________象限．【答案】二
27.抛物线y?kx?kx?1的顶点在x轴上，求k.【答案】k?4,k?0(舍)
228.读材料:当抛物线的解析式中含有字母系数时,随着系数中字母取值的不同,抛物线的顶点也将发生变化. 例如:由抛物线 y?x?2mx?m?2m?1 (1) 有y?(x?m)?2m?1 (2)
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?x?m................(3) ?抛物线的顶点坐标为(m,2m?1),即??y?2m?1........(4)当m的值变化时,x,y的值也随之变化.因而y的值也随x的值变化而变化.将(3)代入(4),得y?2x?1,(5) 可见,无论m取何实数,抛物线y?x2?2mx?m2?2m?1顶点的纵坐标y和横坐标x都满足y?2x?1. 解答问题:
(1)在上述过程中,由(1)到(2)所用的数学方法是________.由(3),(4)得到(5)的数学方法是______.
(2)根据阅读材料提供的方法,确定抛物线y?x2?2mx?m2?2m2?3m?1顶点的纵坐标y和横坐标x之间 的关系式.
9.m为何值时,二次函数y?2x2?3mx?2m的顶点最高?【答案】m?题1:1.若y?(m2?3m)xm2.抛物线y?mxm228 9?2m?2的图象是抛物线，则m?_________．【答案】2
?2m?1的开口向下，则m?___________．【答案】m??1
3.已知二次函数y?(k2?4)x2?2x?k2?2k的图象过原点，则k?_________．【答案】0 4.抛物线y?x2?2mx?m2?2的顶点在第二象限，则m的取值范围是________.【答案】m?0 【例2】(对称轴问题：（1）对称轴方程，（2）左同右异，（3）对称轴与顶点的关系) 1.二次函数y?ax2?bx?c(a?0)中,a?0,b?0,c?0,则其图象大致为( )
A B C D 【答案】C
2.已知：函数y?(m?1)xm2?m?4?3x为二次函数，且对称轴在y轴左侧，则m?___,对称轴为直线______．
?m2?m?4?23【答案】?,得m?3,m??2(舍),对称轴为:x??
4?m?1?03.已知函数y?(m?2)xm2?2m?1?6x为二次函数．
(1)若其对称轴在y轴右侧，求m； (2)若其顶点在第二象限，求m．
?m2?2m?1?2【答案】(1)?,得:m?1,m??3(舍).(2)m??3.
?m?2?04.若点(2,5)，(4,5)在抛物线y?ax?bx?c上,则它的对称轴是( ) A x?2bb B x?? C x?5 D x?3 【答案】D 2a2a
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5.若二次函数y?ax2?bx?c的图象过点(2?m,0),(2?m,0),则它的对称轴是________.【答案】x?2 6.若二次函数在x轴上两交点之间的距离为7，并且对称轴为直线x??3，求这两点的坐标.
?x1?x2?7131?【答案】设两交点为:A(x1,0),B(x2,0),不妨x1?x2,依题意有:?x?x解得:x1??,x2?.
1222??3??27.若二次函数y?ax2?bx?c的图象过点(?3,0),且对称轴为直线x?1,求该二次函数与x轴的另一交点. 【答案】(5,0)
8.若二次函数y?ax2?bx?c的图象过点(?3,7),且对称轴为直线x??1,则该二次函数的图象必过点( )
A (1,0) B (1,?7) C (?1,7) D (1,7) 【答案】B
题2:1.若函数y?ax?b图象过一、三、四象限，则函数y?ax2?bx?2的大致图象是( )
A B C D 【答案】B
2.抛物线y?x2?px?q与x轴的交点为(3,0)、(?5,0)，则该抛物线的对称轴为________.【答案】x??1
2 31294.抛物线y?x?x?4的对称轴为直线___________,顶点为________________.【答案】x??1,(?1,?)
2223.已知:二次函数y?(k?1)x?2kx?3k?2的图象关于直线x?2对称,则k的值为______.【答案】
5.抛物线y?2x?bx的对称轴在y轴右侧，则b的取值范围是( ) A b?0 B b?4 C b??4 D b?0 【答案】D 【例3】(二次函数的图象与a,b,c及相关式子的关系)
1.二次函数y?ax?bx?c的图象如图所示，则下列关于a,b,c间的关系判断正确的是( ) A ab?0 B bc?0 C a?b?c?0 D a?b?c?0【答案】D 2.已知抛物线y??x?bx?c的顶点坐标为(?1,?3)，则
22（1）a?b?c____0； （2）a?b?c____0，（3）b____0；（4）c____0；（5）(a?c)___b. 【答案】(1)<;(2)<;(3)<;(4)<;(5)>
3.二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象如图所示,其对称轴为x??1,有下列结论: (1)a?0,b?0;(2)2a?b?0;(3)a?b?c?0;(4)4a?2b?c?0.
2222y O x
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其中正确结论的个数是( )
A 4 B 3 C 2 D 1 【答案】A 4.已知二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象如图所示，有下列5个结论：
① abc?0；② b?a?c；③ 4a?2b?c?0；④ 2c?3b； ⑤ a?b?m(am?b)，（m?1的实数）其中正确的结论有（ ） A 2个
B 3个
C 4个
D 5个 【答案】B③④⑤
?b?1........(1)b??【提示】④的判断:可知?2a,由(1)得:a??,代入(2) 即可.
2?a?b?c?0...(2)?⑤若a?b?m(am?b)成立,则有a(1?m2)?b(m?1),又有b??2a,代入可得:a(1?m2)??2a(m?1),
2即1?m2??2(m?1),即m?2m?1?0当m?1时此式成立.
5.二次函数y?ax?bx?c的图象如图所示，且P?a?b?c?2a?b ，Q?a?b?c?2a?b， 则P,Q的大小关系为 .【答案】P?Q 【提示】a?b?c?0;?2b?1,a?0,则2a?b?0,所以P?a?2b?c 2aa?b?c?0,2a?b?0,所以Q??a?2b?c,则P?Q?2a?2c?2a?0
题3：1.二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示，则
2b?____,c?_____.【答案】4,5 a2.二次函数y?ax?bx?c的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A 点(ac,b?c)在第一象限 B 点(a?b,ab)在第二象限
C 点(a?b,ac)在第一象限 D 点(ab,?b?c)在第二象限【答案】B
3.二次函数y?ax?bx?c的图象如图所示,那么abc,b?4ac,2a?b,a?b?c这四个 代数式中,值为正数的有( )
A 4个 B 3个 C 2个 D 1个 【答案】B
4.如图是二次函数y?ax?bx?c(a?0)图象的一部分，图象过点A(?3,0)，对称轴为x??1．给出四个结论： ①b?4ac；②2a?b?0；③a?b?c?0；④5a?b．其中正确结论是（ ）． A ②④
B ①④
C ②③ D ①③
2222【答案】B; 对称轴为x??1,则可知b?2a,又知a?0,b?0,所以a??b,即2b?a?b,所以5a?b 【例4】(二次函数图象的画法,画二次函数图象的几个步骤) 画出下列二次函数的图象: