发布时间 : 星期四 文章经济数学基础-概率统计课后习题答案更新完毕开始阅读87615cc7852458fb760b563a
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D（X-Y）=DX-2Cov（X，Y）+DY
2 ??12?2??1?2??2
Cov（9X+Y，X-Y）=9DX-8Cov（X，Y）-DY
2 9?12?8??1?2??2
22?81??12?18??1?2??2 9 ? 12 ?18??1?2??2V??2?2229??18????? ? ? 2???????1221122?1?*34．随机变量X～N（0，1），Xi=Xi，i=1，2，3.求三维随机向量（X1，X2，X3）的均值向量与协差矩阵. 解 EX1?EX?0,EX2?EX2?DX??EX??1
2?E?9X?Y???9?1??2?μ???????????EX?Y???12?EX3?EX3????x3DX1?DX?1EX??4??????12πe? x22dx?0
x42πe? x22dx?3
DX2?DX2?EX4?EX2EX6?????????2?2x62πe? x22dx?15DX3?DX3?EX6?EX3?2?15
EX1X2?EXX2?EX3?0, Cov?X1X2??0EX2X3?EX5?0, Cov?X2,X3??0EX1X3?EX4?3 Cov?X1X3??3?EX1??0??1 0 3???? V??0 2 0?μ??EX2???1???? ???0???3 0 15???EX3???*35．随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，期望和方差都存在，求证X1，X2，…，Xn的相关矩阵为n阶单
位矩阵.
证 由于X1，X2，…，Xn相互独立，因此
EXiXj=EXiEXj
CovXj,Xj?EXiXj?EXiEXj?0?j??XX?0,i?j,i?1,2,?,ni
?XXi?1,i?1,2,?,ni??XX ?XX ? ?XXn?R??? ? ? ??? ? ? ?XXXX?XX11121n1n2nn??1 0 ? 0????? ??? ? ? ????0 0 ? 1????
36．随机变量序列X1，X2，…，Xn，…相互独立同正态分布N??,?2?，当n充分大时，可否认为?Xi，近
n似服从正态分布N??,?2?，为什么?
ni?1解 可以，事实上，由于X1，…，Xn相互独立，同正态分布N??,?2?，不论n是否充分大，?Xi都一定服从正态分布N?n?,n?2?，不仅仅是近似服从正态分布.
37．设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…相互独立同分布，其概率密度f?xi??否满足中心极限定理，为什么?
i?11,i?1,2,?，问它们是
π1?xi2??38
解 不满足.由于Xi的期望不存在.这是由于积分
x??dx??? ???1?x2因此
????? x f?x?dx???
对于期望不存在的随机变量序列不满足中心极限定理.
38．200个新生儿中，求男孩数在80到120之间的概率（假定生男、生女的机会相同）.
?1, 第i名新生儿为男孩解 令Xi??
0, 其他?X表示200名新生儿中男孩数目，则X??Xi
i?12001??X～B?200,?,，EX=100，DX=50由于n相当大，X近似服从正态分布N（100，50）
2??P?80＜X＜120??P? X?100＜20??X?10020??P?＜??2??2.83??1
5050???0.99539．从一大批废品率为3％的产品中随机地抽取1000个，求废品数在20到40个之间的概率.
解 设1000个中的废品个数为X，则X服从超几何分布，由于整批产品数量很大，而抽取数目1000相对于一大批产品是很少的.因此X近似服从二项分布B(1000，0.03). EX=30，DX =29.1. 由n=1000，X近似服从正态分布N(30，29.1).
?X?3010?P?20＜X＜40??P? ＜?29.1? ?29.1 ?2??1.85??1?0.93640．随机变量X1，X2，…，X100相互独立同分布，EX1=μ，DX1=16，求P X???1，其中X?解 根据中心极限定理?Xi近似服从正态分布N?100?,402?,
100i?1??1100?Xi. 100i?1X近似服从分布N??,0.42?
???X???P X???1?P??2.5????0.4?
?2??2.5??1?0.988??41．袋装食盐，每袋净重为随机变量，规定每袋标准重量为500克，标准差为10克，一箱内装100袋，求一箱食盐净重超过50250克的概率.
解 设箱中第i袋食盐净重为Xi克，i=1，…，100.则X1，…，X100相互独立同分布.EXi=500，DXi=100，设一箱食盐净重为X克，则X??Xi，EX=50000，DX=10000，由于n=100，X近似服从中心极限定理
i?1P?X＞50250??1?P?X?50250??X?50000? ?1?P??2.5?
?100? ?1???2.5??0.00610042．计算机有120个终端，每个终端在一小时内平均有3分钟使用打印机，假定各终端使用打印机与否相互独立，求至少有10个终端同时需使用打印机的概率.
1解 依题意，在某一时刻每个终端使用打印机的概率为,且120个终端同时需使用打印机的数目X～
201??B?120,?，EX=6，DX=5.7，X近似服从正态分布N（6，5.7）.
20??
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?X?64?P?X?10??1?P?X＜10??1?P?＜?
5.75.7?? ?1???1.68??0.046
43．一大批种子中，良种占20％，从中任选5000粒，计算其良种率与20％之差小于1％的概率. 解 设5000粒中良种数目为X，则X近似服从二项分布 B（5000，0.2），由于n=5000，故X又近似服从正态分布N（1000，800）.
?X??X-1000?P??0.2＜0.01??P?＜0.01??500??5000??X?100050? ?P?＜??2??1.77?-1800800?? ?0.923
44．上题中在所取的5000粒中，若以99％的把握断定其良种率与规定的良种率20％误差的范围，问此时
良种数所在的范围为何? 解 接上题，设a满足概率等式：
?X?P??0.2?a??0.99 ?5000?即
?X?10005000a?P????0.99800800???5000a? 2????1?0.99800??5000a2.58?2.58 a?80050008001000?5000a?X?1000?5000aＸ在927与1073之间.
45．第一章表1－2中曾记录了皮尔孙掷硬币12000次正面出现6019次，若我们现在重复他的试验，求正
面出现的频率与其概率之差的绝对值，不大于当年皮尔孙试验所发生的偏差的概率.
解 设随机变量X表示掷硬币12000次中正面出现的次数，则X～B（12000，0.5），且X近似服从正态分布N（6000，3000）.
?X119?P?????1200212000??X-600019? ?P???
3000??3000 ?2??0.35??1?0.27446．电话交换台有10条外线，若干台分机，在一段时间内，每台分机使用外线的概率为10％，问最多可
装多少台分机才能以90％的把握使外线畅通.
解 设最多可装n台分机，记X为n台分机中同时使用外线的数目，则X～B（n，0.1），一般n不会太小，可以认为X近似服从正态分布N(0.1n，0.09n).n应满足下面概率等式：
P?X?10??0.90 ?X?0.1n10?0.1n??即 P?X?10??P?? 0.3n??0.3n
40
?10?0.1n?? ??????0.90
0.3n??解以n为未知量的方程：
10?0.1n ?1.28
0.3n得到 n≈68.
47．某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7，假定各机床开关是相互独立的，开动时每部要
消耗电能15个单位，问电厂最少要供应该车间多少单位电能，才能以95％的概率保证不致因供电不足而影响生产?
解 设随机变量X表示200部机床中同时开动的机床数目，则X～B（200，0.7），且X近似服从正态分布N（140，42），令m满足下列概率等式：
P?X?m??0.95 即
?X?140m?140?P?X?m??P???42??42?m?140?? ?????42??
?m?140???????0.9542??m?140?1.64,m?151.42计算得知，电厂最少要供应该车间2265单位电能.
48．计算机在进行加法时，每个加数取整数（按四舍五入取最为接近它的整数），设所有加数的取整误差
是相互独立的，且它们都服从［-0.5，0.5］上的均匀分布. （1）若将300个数相加，求误差总和的绝对值超过15的概率； （2）至多几个数加在一起，其误差总和的绝对值小于10的概率为0.9.
解 设Xi为第i个加数的取整误差，i=1，2，…，300.X表示300个加数的误差总和，则有X1，…，X300相互独立，EXi=0，DXi?（1）P? X＞15??1?P? X?15?
3001，X=?Xi，EX=0，DX=25.X近似服从分布N?0,52?.
i?112?X? ?1?P??3? ?5? ?1??2??3??1??0.0027（2）设n为所求的加数个数，则n应满足下面概率等式：
?n? P??Xi＜10??0.9 ?i?1?n?n?但是 ?Xi近似服从分布N?0,?，因此自
i?1?12???12??12n?n? P??Xi＜10?? P??Xi＜10?i?1nn???i?1???
?1012???1 ?2???n???