发布时间 : 星期六 文章罗默《高级宏观经济学》（第3版）课后习题详解（第7章 消 费）更新完毕开始阅读87888acdf12d2af90342e63f
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?D?t?Pt?1??t?1?sEt??E?1?rb （4） ?????ts?1??1?r?s?1???1?r???在上步中用了迭代期望法则。在式（4）两边同时加上Et??Dt?1/?1?r???可以得到：
??D??D?tt?Dt?1?P?Dt?1??t?1?t?1?st?sEt??Et???Et????1?r?b??Et????1?r?b （5） s?1s???1?r??1?r?s?1?s?1???1?r?????1?r???因此（1）和（2）的右边相等，建议价格路径满足价格的一阶条件。在这种情况下，消
费者愿意支付多于未来现金流的贴现值。因为他们预测到股票的价格将持续上升，因此他们享受到的资本利得恰好抵消了他们支付的价格升水。
②如果b是负的，随着t??，泡沫项?1?r?b将趋于负无穷。因此股票的价格最终变为负数，并且趋于负无穷。不过这是不可能的。股票永远不可能以负的价格出售。策略仅仅是始终持有股票而不出售，便可以避免因为股票出售带来的资本损失。或者更简单的，个人仅仅扔掉自己的股票而不是以一个负的价格卖掉。因此b不可能为负。
（b）①加上泡沫项，在t期股票的价格是：
?D?t?sPt??Et???qt （6） ss?1???1?r????t其中qt以概率?等于?1?r?qt?1/?，以概率为?1???等于0。下面检验（6）式的右边是否等于（2）式的右边，一阶条件。因为（6）在每一期都成立，可以将t?1期的股票价格写
为：
?D?t?1?sPt?1??Et?1???qt?1 （7） s1?rs?1???????在（7）式两边取期望，运用期望迭代法则：
??D??1?r?qt?D?t?1?st?1?sEt?P?E???01???E??????1?r?qt （8） ?????t?t?1?tss?s?1s?1????1?r?????1?r????在（8）式两边除以?1?r?再加Et??Dt?1/?1?r???上，得到： ?Dt?1?P?Dt?1??t?1?Et???Et?1?r???Et?1?r???s?1??D?t?1?s???qt??Ets?11?rs?1???????D?t?s???qt （9） s1?r??????（6）式的右边等于（2）式的右边，因此价格路径满足价格的一阶条件。
（2）泡沫在t?s期破裂的概率等于在t?1期破裂的概率加上给定第t?1期没有破裂而第t?2期破裂的概率，加上给定第t?1、t?2期没有破裂而第t?3期破裂的概率，等等。泡沫在t?1期破裂的概率为?1???，第t?1期没有破裂而第t?2期破裂的概率为??1???，第t?1、直到在t?s期泡沫破裂给定在以前各t?2期没有破裂而第t?3期破裂的概率为?2?1???等。
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期没有破裂的概率为?s?1?1???。因此，泡沫破裂的概率为：
Prob?burst ?by??t?s???1????1????2????s?1? （10）
（c）①在t时刻不存在泡沫的情况下，股票的价格为：
?D?t?sPt??Et?? （11） s1?rs?1???????如果红利服从随机游走，则对于s?0，有EtDt?s?Dt。因为红利变化是不可预测的，对
未来时期红利的最好的预测是今天红利的数量。因此，Pt可以写为：
Pt??s?1?Dt?1?r?s?Dt?s?1?1?1?r?s?1?1?Dt???…? （12） 21?r???1?r???因为1/?1?r??1，所以可以得到：
1/?1?r?1/?1?r?111??…??? （13） 1?r?1?r?2r/1?rr1??1/1?r???????将（13）代入（12）得到在t时刻股票的价格为：
Pt?Dt/r （14） ②加上泡沫后，在t时刻股票的价格为：
Pt??Dt/r??bt??Dt/r???1?r?bt?1?cet （15）
下面证明（15）式与（2）式的右边相等。因为（15）式在各期都成立，因此可以将t?1时刻股票的价格写为：
Pt?1??Dt?1/r???1?r?bt?cet?1????Dt?et?1?/r????1?r?bt?cet?1 （16）
上步用了Dt?1?Dt?et?1。在（16）式两边同时除以?1?r?，并且在两边取期望：
Dt?P?Et?t?1???bt （17） ?1?r?r?1?r?在式（17）两边同时加上Et??Dt?1/?1?r???可以得到：
?D?P?Et?t?1t?1??Et?1?r?DtrDt?Dt?1?r?Dt?Dt?1???b??b??bt （18） t?1?r?r?1?r?tr?1?r?r1?r????即：
?D?P?DEt?t?1t?1??t?bt （19） ?1?r?r因此（15）与（2）的右边相等，一阶条件满足。通过这个式子，红利的变化e进入了泡沫。e的一个正的实现，不仅仅提高红利的预期路径，还提高了泡沫的路径和当前的价格。因此，股票的价格存在对红利变化的一个过度反应。
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7.11 卢卡斯资产定价模型（卢卡斯1978）。假设经济中的唯一资产是长生不老树。产出等于这些树的果实，产出是外生的且果实不能储存；因而Ct?Yt，其中Yt是外生决定的人均产出，Ct是人均消费。假设一开始每个消费者拥有的树一样多。由于所有的消费者被假定为相同，这意味着在均衡时，树木的价格必须使得代表性消费者在每一期既不想增加也不想减少其拥有的树量。
令Pt表示在t期树的价格（假设树在被卖掉前，其拥有者已经收获了果实）。最后，假
?t设代表性消费者最大化E??t?0lnCt/?1????。
??（a）假设代表性消费者在t期将其消费减少一无穷小量，并把由此而得的储蓄用于增加其拥有的树的数量，然后在t?1期将这些增加的数量卖掉。要使这种变化不影响期望效用，则Ct以及Yt?1、Pt?1和Ct?1的期望必须满足什么条件？从这一条件中求解Yt，把它用Yt以及Yt?1、Pt?1和Ct?1的期望值来表示。
sPt?s/Yt?s?/?1?????0。根据这个假设，向前迭代在（a）部分的结果（b）假设limEt????s??以求解Pt（提示：利用对于所有s，Ct?s?Yt?s都成立这一事实）。
（c）从直观上解释为什么未来红利预期值的增加不影响该资产的价格。
（d）本模型的消费是否服从随机游走？ 答：（a）假设消费者在t时刻降低自己的消费数量dC，这样做的效用成本等于在t时刻的消费的边际效用1/Ct，乘以dC，因此有：
效用成本?dC/Ct （1）
消费的降低允许消费者在t时刻购买dC/Pt棵树。在t?1时刻，个人通过持有额外的树而收获额外的产出。他得到额外的消费?dC/Pt?Yt?1。他接着卖掉额外的树得到?dC/Pt?Pt?1，然后消费掉这部分财富。因此他在t?1时刻的额外的消费为?dC/P在t?1t?Yt?1??dC/Pt?Pt?1。时刻消费的边际效用为1/Ct?1。因此，这一行动的折现预期效用收益为：
?11?dC??dC预期效用收益=Et?Y?P?t?1t?1?? （2）
1??CPP?t?1?tt????如果个人行为是最优化的，这种形式的边际变化不会导致预期效用的变化。这意味着效
用成本等于预期效用收益：
dC?EtCt?11dC??Yt?1?Pt?1?? （3） ??1??Ct?1Pt?两边抵消dC（这样做并不太正规），可以推出：
1?EtCt?111?Y?P???t?1t?1? （4） 1??CPt?1t??下面求解（4）以得到Pt。注意可以用Yt替代Ct，并且在t时刻Pt是确定的。（4）式可以写为：
?11?11?Et??Yt?1?Pt?1?? （5） YtPt?1??Ct?1?985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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求解（5）得到在t时刻树的价格为：
Pt??Y?P?YtEt?t?1t?1? （6） 1???Ct?1?（b）因为对于s?0，Ct?s?Yt?s总是成立的，所以由（6）式可得：
Pt??P??P?YtYYEt?1?t?1??t?tEt?t?1? （7） 1???Yt?1?1??1???Yt?1?（7）式在所有各期都成立，因此可以将t?1时刻树的价格写为：
Pt?1??P?Yt?1Y?t?1Et?1?t?2? （8） 1??1???Yt?2?将（8）式代入（7）式得：
Pt??1?P??YtY1?tEt??Et?1?t?2?? （9） 1??1????Yt?2???1??1???使用期望的迭代法则，即对于任意变量x，有Et?，Et?1?，xt?2?Etxt?2，可以得到：
Pt??Pt?2?YtYtYt??E? （10） t?1???1???2?1???2?Yt?2?在重复替代后，得到：
Pt??Pt?s?YtYtYtYt??···??E? （11） t?ss1???1???2Y?1????1????t?s?sPt?s/Yt＋s?/?1?r???0，在t时刻树的价格可以写为： 加上无泡沫条件limEt????s?0?1?1Pt?Yt???…? （12） 21??1????????因为1/?1????1，t时刻树的价格可以写为：
?1/?1?????1/?1????P?Y?Y??? （13） ttt??/1??1?1/1??????????????????因此最终树的价格为：
Pt?Yt/? （14）
（c）未来红利的预期值的增加有两个效应，第一个是给定消费的边际效用，预期红利
的提高增加了拥有树的吸引力，这倾向于提高树的当前价格。不过，因为在这个模型中消费等于红利，未来红利的预期值的增加会导致未来消费的增加，因此降低了未来消费的边际效用，这倾向于降低拥有树的吸引力，因而降低树的价格。在对数效用的例子中，这两种力量恰好相互抵消，在未来红利的预期值增加的情况下，树的当前价格不变。
（d）消费路径等于产出路径。因此如果产出遵循随机游走，则消费也遵循随机游走。如果产出不遵循随机游走，则消费也不遵循随机游走。
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