发布时间 : 星期六 文章高考数学一轮复习 专题8.1 空间几何体的表面积与体积(讲)更新完毕开始阅读879ad72b7b563c1ec5da50e2524de518964bd313
专题8.1 空间几何体的表面积与体积
【考纲解读】
要 求 内 容 A B C 柱、锥、台、球及其简单组合体 柱、锥、台、球的表面积与体积 1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征．能√ 正确描述现实生活中简单物体的结构． 2．了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公 式．(不要求记忆台体的体积公式) √ 【知识清单】
考点1 几何体的表面积
圆柱的侧面积 S?2?rl 圆柱的表面积 S?2?r(r?l) 圆锥的侧面积 S??rl 圆锥的表面积 S??r(r?l) 圆台的侧面积 S??(r??r)l
圆台的表面积 S??(r??r?r?l?rl) 球体的表面积 S?4?R2
柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.
把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积. 考点2 几何体的体积
圆柱的体积 V??r2h 圆锥的体积 V?22备注 空间几何体 12?rh 3圆台的体积 V??h(r?2?r2?r?r) 球体的体积 V?1343?R 33 正方体的体积 V?a
正方体的体积 V?abc
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【考点深度剖析】
柱、锥、台、球等简单几何体的面积与体积(尤其是体积)是高考热点．
【重点难点突破】
考点1 几何体的表面积
【1-1】【苏州市2014届高三调研测试】若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ▲ ． 【答案】5?
【1-2】【2012·江苏高考】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A-
BB1D1D的体积为________cm3.
【答案】6
2212【解析】由题意得VA－BB1D1D＝VABD－A1B1D1＝××3×3×2＝6 cm.
332【思想方法】
多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
【温馨提醒】多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理；圆锥、圆柱、圆台的侧面是曲面，计算侧面积或长度时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和. (1)找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)注意组合体的表面积问题中重合部分的处理． 考点2 几何体的体积
【2-1】【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 . 【答案】
2. ?
【2-2】【苏州市2014届高三暑假自主学习测试】如图，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，点E,F分别在AA1,CC1上，且AE?
31AA1，CF?CC1，点A,C到BD的距离之比为3:2，则三棱锥E?BCD432
V和F?ABD的体积比E?BCD? .
VF?ABD
【答案】
3 2S?BCD2?，又直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，
S?ABD3【解析】点A,C到BD的距离之比为3:2，所以
AE?V31AE9AA1，CF?CC1，所以?，于是E?BCD43CF4VF?ABD1S?BCD?AE293?3???. 1S?ABD?CF34233，D、E【2-3】【江苏省诚贤中学2014届高三数学月考试题】正三棱锥S?ABC中，BC?2，SB?分别是棱SA、SB上的点，Q为边AB的中点，SQ?平面CDE，则三角形CDE的面为 ． 【答案】【解析】
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【思想方法】若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
【温馨提醒】(1)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高．
(2)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算
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常用的方法，应熟练掌握．
(3)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征． 考点3 几何体的展开、折叠、切、截问题
【3-1】(2014·南通期末)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为23，则四面体AB1CD1的外接球的体积为________． 【答案】36π
【解析】四面体AB1CD1的外接球即为正方体ABCDA1B1C1D1的外接球，故正方体的外接球的直径为4342223
(23)＋(23)＋(23)＝6，故V＝πR＝π×(6÷2)＝36π.
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【3-2】如图所示，已知三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1 ABC1的体积为________． 【答案】
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12
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，底面积为，故其22
【解析】三棱锥B1 ABC1的体积等于三棱锥A B1BC1的体积，三棱锥A B1BC1的高为1133
体积为××＝.
32212
【思想方法】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．
有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．
研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．
【温馨提醒】简单几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类简单几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧、把一个简单几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧、对旋转体作其轴截面的技巧、通过方程或方程组求解的技巧等，这是化解简单几何体面积和体积计算难点的关键．
【易错试题常警惕】
求空间几何体的表面积应注意的问题
(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．
(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．
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