发布时间 : 星期五 文章数学模型（第四版）课后详细答案更新完毕开始阅读87b8581fcc7931b765ce15ca
数学模型作业
六道题 作业一
1.P56.8一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 身长36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1 /cm 质量765 482 1162 737 482 1389 652 454 /g 胸围24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6 /cm 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。 解：
要求鱼的体重，我们利用质量计算公式：M=ρV。我们假定鱼池中是同一种鱼，于是可以近似地考虑其密度是相同的。至于鱼的体积问题，由于是同一种类，可以假定这种鱼在体型上是一致的。我们假设鱼的体积和鱼身长的立方成正比。即：V=k1L3，因此，模型为：
M1??V??k1l3?K1 L3……………………………
模型一 利用Eviews软件，用最小二乘法估计模型中的参数K1，如下图1所示：
图1
从图1结果可以得到参数K1=0.014591，所以模型为：
M1?0.014591 L3
上述模型存在缺陷，因为它把肥鱼和瘦鱼同等看待。因此，有必要改进模型。如果只假定鱼的横截面是相似的，假设横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，即：V=k2d2L，因此，模型为：
M2??V??k2d2L?K2d2L………………………………
模型二
利用Eviews软件，用最小二乘法估计模型中的参数K2，如下图2所示：
图2
从图2可以得到参数K2=0. 032248，所以模型为：
M2?0.032248d2L
将实际数据与模型结果比较如表1所示：
表1 实际数765 482 1162 737 482 1389 652 454 据M 模型一M1 727.165 469.214 1226.061 727.165 482.629 1338.502 675.108 482.619 模型二M2 729.877 465.248 1099.465 729.877 482.960 1470.719 607.106 483.960
2.P131.2 一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上。每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书，这两个代理点应该建在何处，才能使所能供应的大学生的数量最大？建立该问题的整数线性规划模型并求解。
解：
将大学生数量为34、29、42、21、56、18、71的区分别标号为1、2、3、4、5、6、7区，画出如下区域区之间的相邻关系：
2 5 记r 为第0-1变量xij=1表示（1 i区的大学生人数，用4 6 i，j）区的大学生由
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一个代售点供应图书（i Max??（ri?rj）xij相邻s.t.?xij?2i.j ?1,?i?x??xijjjijxij?{0,1}即： Max?63*x12?76*x13?71*x23?85*x25?63*x34?77*x45?39x*x46?74*x56?89*x67?92*x47s.t.x12?x13?x23?x24?x25?x34?x45?x46?x47?x56?x67?2 x12?x13?1 x12?x23?x24?x25?1 x13?x23?x34?1 x24?x45?x56?1 x46?x56?x67?1 xij?0或xij?1将上述建立的模型输入LINGO，如下： modle: max=63*x12+76*x13+71*x23+85*x25+63*x34+77*x45+39x*x46+74*x56+89*x67+92*x47 s.t. x12+x13+x23+x24+x25+x34+x45+x46+x47+x56+x67<=2; x12+x13<=1; x12+x23+x24+x25<=1; x13+x23+x34<=1; x24+x45+x56<=1; x46+x56+x67<=1 @gin(x12); @gin(x13); @gin(x23); @gin(x25); @gin(x34); @gin(x45); @gin(x46);@gin(x47); @gin(x67); End 运行，得到的输出如下： Local optirnal solution found at iteration Objective value: Vauable Value Reduced Cost x12 0.000000 0000000 x13 0.000000 0000000 x23 0.000000 0000000 x24 0.000000 0000000 x25 1.000000 0000000 x34 0.000000 0000000 x45 0.000000 0000000 x46 0.000000 0000000 x47 1.000000 0000000 x56 0.000000 0.000000 x67 0.000000 0000000 从上述结果可以得到：最优解 x25?x47?1(其他的均为0)，最优值为177人. 即：第2、5区的大学生由一个销售代理点供应图书，代理点在2区或者5区，第4、7区区的大学生由另一个销售代理点供应图书，代理点在4区或者7区。 作业二 3.P181.14 在鱼塘中投放n0尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的重量将增加。 (1)设尾数n(t) 的(相对)减少率为常数;由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比。分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解。 (2)用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少量|?/n| 表示，记作E，即单位时间捕获量是En(t)。问如何选择T和E，使从T开始的捕获量最大。 解： （1） 鱼塘的初始鱼苗为n0尾，且随着时间的增长，尾数将减少。设尾数n(t) 的(相对)减少率为为k1，因此由题意建立微分方程为： dn??kn,(k?0)dt n(0)?n0求解得： n(t)?n0e?kt 在鱼塘里，由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼表面积成正比，即： I(t)=?S 在鱼塘里，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比，即： D(t)=?m 所以每尾鱼重量的净增长率r(t)为： r(t)=?S??m 因此，建立微分方程为： dm=?S??m dt因为该微分方程涉及多个变量间的数量关系，所以我们暂时无法求解该微分方程。但是要想解决此微分方程还需要更多的信息，例如，每尾鱼表面积与其重量间的关系，一旦此关系确定，便可轻松解出每尾鱼的质量随时间的变化，即m(t)。 （2） 用控制网眼的办法不捕小鱼，假设t=T时开始捕捞，且单位时间的捕捞率为E，依题意建立微分方程： dn??kn?En,(t?T) dt因此得: