发布时间 : 星期六 文章2020学年高中数学第2讲参数方程一曲线的参数方程第1课时参数方程的概念、圆的参数方程练习人教A版选修4 - 4更新完毕开始阅读881f26f3366baf1ffc4ffe4733687e21ae45ffce
第一课时 参数方程的概念、圆的参数方程
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一、选择题
1．已知曲线的方程为?A．(1,1) C．(2,3)
?x＝2t＋1，?
??y＝t＋1
(t为参数)，则下列点中在曲线上的是( )
B．(2,2) D．(1,2)
解析：∵当x＝2t＋1＝1时，t＝0，此时y＝t＋1＝1，
??x＝2t＋1，
∴(1,1)在曲线?
??y＝t＋1
上．
答案：A
1
x＝，??t2．(2019·青冈实验中学测试)参数方程?1
y＝??tt－1
2
(t为参数)所表示的曲线是
( )
12121122222
解析：由y＝t－1，得y＝2(t－1)＝1－2，∵x＝，∴y＝1－x，即x＋y＝1，
tttt又因x与y同号，故选D．
答案：D
??x＝cos θ，
3．曲线?
?y＝sin θ?
(θ为参数)上的点到两坐标轴距离之和的最大值为( )
2
2
1A． 2C．1
B．
D．2
解析：由题意曲线上的点到两坐标轴距离之和为
d＝|x|＋|y|＝|cos θ|＋|sin θ|，不妨设0≤θ≤，
π??则d＝cos θ＋sin θ＝2sin?θ＋?≤2. 4??答案：D
??x＝6cos θ，
4．(2019·陕西西安中学月考)若点(－3，－33)在圆：?
?y＝6sin θ?
π2
(θ为参数)
上，则θ对应的值为( )
πA． 34πC． 3
解析：将点(－3，－31
cos θ＝－，?2??3sin θ＝－，??2
答案：D
π
B．＋2kπ(k∈Z)
34π
D．＋2kπ(k∈Z)
3
??x＝6cos θ，
3)代入参数方程?
?y＝6sin θ?
(θ为参数)，得
4π
∴θ＝＋2kπ，k∈Z，故选D．
3
?x＝－1＋2cos θ，
5．(2019·人大附中期末)圆?
?y＝1＋2sin θ劣弧长为( )
A．2π 2
B．π D．4π
(θ为参数)被直线y＝0截得的
C．22π 解析：圆?
?x＝－1＋2cos θ，?y＝1＋2sin θ
(θ为参数)化为普通方程为(x＋1)＋(y－1)＝2，
22
ππ
其圆心为(－1,1)，所以圆心到直线y＝0的距离为1，所以圆心角为，其劣弧长为×2
22＝
2π
，故选A． 2答案：A
??x＝2＋cos α，
6．若P(x，y)是曲线?
??y＝sin α
(α为参数)上任意一点，则?x－5?＋?y＋4?
22
的最大值为( )
A．2 C．6
??x＝2＋cos α，
解析：曲线?
??y＝sin αB．4 D．8
(α为参数)可化为(x－2)＋y＝1.其圆心为
22
C(2,0).?x－5?2＋?y＋4?2表示圆上的点P(x，y)到点M(5，－4)的距离，其最大值为|MC|＋
1＝?5－2?＋?－4－0?＋1＝6.
答案：C 二、填空题
??x＝3cos θ，π
7．(2019·银川月考)已知O为原点，当θ＝－时，参数方程?
6??y＝9sin θ2
2
(θ为参数)上的点为A，则直线OA的倾斜角为________．
?π?33，y＝9sin?－π?＝－9，∴点A的坐标为
解析：依题意，可得x＝3cos?－?＝?6?2?6?2??
2π9??33
＝－3.∴直线OA的倾斜角为. ?，－?∴直线OA的斜率k＝32??233
2
2π
答案： 38．已知圆C??x＝cos α，
的参数方程为?
?y＝1＋sin α?
9－2
(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴
为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________．
??x＝cos α，
解析：圆?
?y＝1＋sin α?
(α为参数)可化为x＋(y－1)＝1，
22
ρsin θ＝1可化为y＝1.
由?
?y＝1，?
2
2
??x＋?y－1?＝1，
得?
?x＝1，???y＝1
或?
?x＝－1，???y＝1.
答案：(1,1)或(－1,1)
??x＝2＋cos θ，
9．(2019·北京顺义区二模)曲线?
?y＝1＋sin θ?
(θ为参数)的对称中心到直线2x－y＋2＝0的距离为________．
解析：曲线?
??x＝2＋cos θ，??y＝1＋sin θ
(θ为参数)表示圆心为(2,1)，半径为1的圆，
|2×2－1＋2|
∴圆心(2,1)到直线的距离d＝＝5. 22
2＋?－1?答案：5 三、解答题
10．(2019·北京海淀区高三检测)已知直线l的方程为3x－y＋6＝0，曲线C的参数
??x＝2cos θ，方程为?
??y＝2sin θ
(θ为参数)，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距
离的最大值．
??x＝2cos θ，解：将曲线C的参数方程?
?y＝2sin θ?
(θ为参数)，化为普通方程，得x＋y＝4，
22
其圆心为(0,0)，半径r＝2，
|3×0－0＋6|
所以圆心到直线l：3x－y＋6＝0的距离d＝＝3， 22
?3?＋?－1?所以P到直线l的距离的最大值为d＋r＝3＋2＝5. 11．已知P(x，y)是圆x＋y＝2y上的动点． (1)求2x＋y的取值范围；
(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围．
??x＝cos θ，
解：圆的参数方程为?
??y＝1＋sin θ2
2
(θ为参数，θ∈R)．
(1)2x＋y＝2cos θ＋sin θ＋1＝1＋5sin(θ＋φ)(其中tan φ＝2)， ∴1－5≤2x＋y≤1＋5.
故2x＋y的取值范围为[1－5，1＋5 ]．
(2)若x＋y＋c≥0恒成立，即c≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R成立． 又－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值是2－1， ∴当c≥2－1时，x＋y＋c≥0恒成立．
12．在以坐标原点为极点，x的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2，正△ABC的顶点都在C1上，且A，B，C依逆时针顺序排列，点A的坐标为(2,0)．
(1)求点B，C的直角坐标；
(2)设P是圆C2：x＋(y＋3)＝1上的任意一点，求|PB|＋|PC|的取值范围． 解：(1)∵曲线C1的极坐标方程为ρ＝2， ∴C1的直角坐标方程为x＋y＝4.
∵正△ABC的顶点都在C1上，且A，B，C依逆时针顺序排列，点A的坐标为(2,0)， ∴B点的坐标为(2cos 120°，2sin 120°)，即B(－1，3)，
2
2
2
2
2
2
C点的坐标为(2cos 240°，2sin 240°)，即C(－1，－3)．
(2)∵圆C2：x＋(y＋3)＝1，
2
2
?x＝cos θ，
∴圆C2的参数方程为?
?y＝－3＋sin θ
(θ为参数)．
设点P(cos θ，－3＋sin θ)(0≤θ<2π)，
则|PB|＋|PC|＝(cos θ＋1)＋(sin θ－23)＋(cos θ＋1)＋sinθ＝16＋4cos θπ??－43sin θ＝16＋8cos?θ＋?.
3??
π??∵－1≤cos?θ＋?≤1，
3??
∴|PB|＋|PC|的取值范围是[8,24]．
??x＝2＋cos θ，
13．(2019·北京西城区二模)已知圆C的参数方程为?
?y＝sin θ?
2
2
2
2
2
2
2
2
(θ为参数)，
则圆C的面积为________；圆心C到直线l：3x－4y＝0的距离为________．
解析：由圆C的参数方程?1.所以圆C的面积为π，
|3×2－4×0|6
圆心C到直线l的距离为d＝＝. 22
53＋?－4?6
答案：π
5
?x＝2＋cos θ，?
??y＝sin θ
(θ为参数)知，圆心C(2,0)，半径r＝