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几何变换之旋转构造(三)
专题三：中心对称篇
遇中点，旋180，造平行（倍长中线）
【例 1】 （顺义区2009一模第25题）已知：在Rt?ABC中，AB?BC，在Rt?ADE中，AD?DE，连结EC，
取EC的中点M，连结DM和BM． ⑴ 若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明； ⑵ 如果将图①中的?ADE绕点A逆时针旋转小于45?的角，如图②，那么⑴中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
BE例题精讲
EBMAD图1 CDAMC图2
【例 2】 如图将等腰直角三角形ADE绕点A按逆时针方向旋转90?，其余条件不变，结论：?BMD为等腰直
角三角形还成立吗?
BEDMA
旋转变换 page 1 of 6 C
【例 3】 已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF?BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． ⑴求证：EG?CG；
⑵将图①中?BEF绕B点逆时针旋转45?，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
⑶将图①中?BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问⑴中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
A D
A G E G F E
F E D
A B 图①
F C B 图②
C B 图③
C
【例 4】 已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，EF?BE，?BEF?90°，按图l放置，
使点F在BC上，取DF中点G，连EG、CG．
⑴ 探索EG、CG的数量关系，并说明理由；
⑵ 将图1，△BEF绕B点顺时针旋转45°得图2，连结DF，取DF的中点G，问⑴中的结论是否
成立，并说明理由；
⑶ 将图l中△BEF绕B点转动任意角度（旋转角在0到90°之间）得图3，连结DF，取DF的
中点G，问⑴中的结论是否成立，请说明理由；
AAGEDDADGEBCGCBECF图3BF图1F图2
旋转变换 page 2 of 6 【例 5】 在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是
正方形．AE的中点是M．
（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM = MH，FM⊥MH；
（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）
F G(N)
H
A B
C(M) D E
图1
F G N
H
A B
M C
D E
图2
F
G N C
A B M
D E H
图3
旋转变换 page 3 of 6 【例 6】 如图1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上
（CG?BC），取线段AE的中点M．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．
说明：⑴ 如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；
⑵ 在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分． ① DM的延长线交CE于点N，且AD?NE；
② 将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图2），其他条件不变； ③ 在②的条件下且CF?2AD．
附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．
FABCG图1DMAFMDC图2 EABCDMFEBGEG图3ABCDMFABCDMFEG图3
EG图3旋转变换 page 4 of 6