发布时间 : 星期三 文章浮点数的二进制表示更新完毕开始阅读889a3d3d5727a5e9856a61dd
浮点数的二进制表示
1.
前几天，我在读一本C语言教材，有一道例题： #include
{
int num=9; /* num是整型变量，设为9 */
float* pFloat=# /* pFloat表示num的内存地址，但是设为浮点数 */ printf(\的值为：%d\\n\显示num的整型值 */
printf(\的值为：%f\\n\显示num的浮点值 */ *pFloat=9.0; /* 将num的值改为浮点数 */
printf(\的值为：%d\\n\显示num的整型值 */
printf(\的值为：%f\\n\显示num的浮点值 */ }
运行结果如下：
num的值为：9
*pFloat的值为：0.000000 num的值为：1091567616 *pFloat的值为：9.000000
我很惊讶，num和*pFloat在内存中明明是同一个数，为什么浮点数和整数的解读结果会差别这么大？
要理解这个结果，一定要搞懂浮点数在计算机内部的表示方法。我读了一些资料，下面就是我的笔记。
2.
在讨论浮点数之前，先看一下整数在计算机内部是怎样表示的。 int num=9;
上面这条命令，声明了一个整数变量，类型为int，值为9（二进制写法为1001）。普通的32位计算机，用4个字节表示int变量，所以9就被保存为00000000 00000000 00000000 00001001，写成16进制就是0x00000009。
那么，我们的问题就简化成：为什么0x00000009还原成浮点数，就成了0.000000？ 3.
根据国际标准IEEE 754，任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式： V = (-1)^s×M×2^E
（1）(-1)^s表示符号位，当s=0，V为正数；当s=1，V为负数。 （2）M表示有效数字，大于等于1，小于2。 （3）2^E表示指数位。
举例来说，十进制的5.0，写成二进制是101.0，相当于1.01×2^2。那么，按照上面V的格式，可以得出s=0，M=1.01，E=2。
十进制的-5.0，写成二进制是-101.0，相当于-1.01×2^2。那么，s=1，M=1.01，E=2。
IEEE 754规定，对于32位的浮点数，最高的1位是符号位s，接着的8位是指数E，剩下的23位为有效数字M。
对于64位的浮点数，最高的1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M。 5.
IEEE 754对有效数字M和指数E，还有一些特别规定。
前面说过，1≤M<2，也就是说，M可以写成1.xxxxxx的形式，其中xxxxxx表示小数部分。IEEE 754规定，在计算机内部保存M时，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。比如保存1.01的时候，只保存01，等到读取的时候，再把第一位的1加上去。这样做的目的，是节省1位有效数字。以32位浮点数为例，留给M只有23位，将第一位的1舍去以后，等于可以保存24位有效数字。
至于指数E，情况就比较复杂。
首先，E为一个无符号整数（unsigned int）。这意味着，如果E为8位，它的取值范围为0~255；如果E为11位，它的取值范围为0~2047。但是，我们知道，科学计数法中的E是可以出现负数的，所以IEEE 754规定，E的真实值必须再减去一个中间数，对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E，这个中间数是1023。
比如，2^10的E是10，所以保存成32位浮点数时，必须保存成10+127=137，即10001001。 然后，指数E还可以再分成三种情况：
（1）E不全为0或不全为1。这时，浮点数就采用上面的规则表示，即指数E的计算值减去127（或1023），得到真实值，再将有效数字M前加上第一位的1。
（2）E全为0。这时，浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023），有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0，以及接近于0的很小的数字。
（3）E全为1。这时，如果有效数字M全为0，表示±无穷大（正负取决于符号位s）；如果有效数字M不全为0，表示这个数不是一个数（NaN）。
6.
好了，关于浮点数的表示规则，就说到这里。
下面，让我们回到一开始的问题：为什么0x00000009还原成浮点数，就成了0.000000？
首先，将0x00000009拆分，得到第一位符号位s=0，后面8位的指数E=00000000，最后23位的有效数字M=000 0000 0000 0000 0000 1001。
由于指数E全为0，所以符合上一节的第二种情况。因此，浮点数V就写成： V=(-1)^0×0.00000000000000000001001×2^(-126)=1.001×2^(-146)
显然，V是一个很小的接近于0的正数，所以用十进制小数表示就是0.000000。 7.
再看例题的第二部分。
请问浮点数9.0，如何用二进制表示？还原成十进制又是多少？ 首先，浮点数9.0等于二进制的1001.0，即1.001×2^3。
那么，第一位的符号位s=0，有效数字M等于001后面再加20个0，凑满23位，指数E等于3+127=130，即10000010。
所以，写成二进制形式，应该是s+E+M，即0 10000010 001 0000 0000 0000 0000 0000。这个32位的二进制数，还原成十进制，正是1091567616。
（3）浮点数的表示方法
浮点数，是指小数点在数据中的位置可以左右移动的数据。它通常被表示成：
N = M* RE 这里的M(Mantissa)被称为浮点数的尾数，R(Radix)被称为阶码的基数，
E(Exponent)被称为阶的阶码。计算机中一般规定R为2、8或16、是一个确定的常数，不需要在浮点数中明确表示出来。因此，要表示浮点数，一是要给出尾数M的值，通常用定点小数形式表示，它决定了浮点数的表示精度，即可以给出的有效数字的位数。二是要给出阶码，通常用整数形式表示，它指出的是小数点在数据中的位置，决定了浮点数的表示范围。浮点数也要有符号位。在计算机中,浮点数通常被表示成如下格式:
Ms是尾数的符号位,即浮点数的符号位，安排在最高一位； E 是阶码，紧跟在符号位之后，占用m位，含阶码的一位符号； M 是尾数，在低位部分，占用n位。
合理地选择m和n的值是十分重要的，以便在总长度为1+m+n个二进制表示的浮点数中，既保证有足够大的数值范围，又保证有所要求的数值精度。例如,在PDP-11/70计算机中，用32位表示的一个浮点数，符号位占一位，阶码用8位，尾数用23位，数的表示范围约为±1.7*10±38 ，精度约为10进制的7位有效数字。
若不对浮点数的表示格式作出明确规定，同一个浮点数的表示就不是唯一的。例如0.5也可以表示为0.05×101 , 50×10-2 等。为了提高数据的表示精度，也为了便于浮点数之间的运算与比较，规定计算机内浮点数的尾数部分用纯小数形式给出，而且当尾数的值不为0时，其绝对值应大于或等于0.5，这被称为浮点数的规格化表示。对不符合这一规定的浮点数，要通过修改阶码并同时左右移尾数的办法使其变成满足这一要求的表示形式，这种操作被称为的规格化处理，对浮点数的运算结果就经常需要进行规格化处理。
当一个浮点数的尾数为0，不论其阶码为何值，该浮点数的值都为0。当阶码的值为它能表示的最小一个值或更小的值时,不管其尾数为何值，计算机都把该浮点数看成零值,通常称其为机器零，此时该浮点数的所有各位（包括阶码位和尾数位）都清为0值。
按国际电子电气工程师协会的IEEE标准,规定常用的浮点数的格式为：
符号位 阶码 尾数 总位数 短浮点数 1 8 23 32 长浮点数 1 11 52 64 临时浮点数 1 15 64 80
对短浮点数和长浮点数，当其尾数不为0值时，其最高一位必定为1，在将这样的浮点数写入内存或磁盘时，不必给出该位，可左移一位去掉它，这种处理技术称为隐藏位技术，目的是用同样多位的尾数能多保存一位二进制位。在将浮点数取回运算器执行运算时，再恢复该隐藏位的值。对临时浮点数，不使用隐藏位技术。
从上述讨论可以看到，浮点数比定点小数和整数使用起来更方便。例如,可以用浮点数直接表示电子的质量9×10-28 克，太阳的质量2×1033 克，圆周率3.1416等。上述值都无法直接用定点小数或整数表示，要受数值范围和表示格式各方面的限制。
为了表示浮点数，数被分为两部分：整数部分和小数部分。例如，浮点数14.234就有整数部分14和小数部分0.234.首先把浮点数转换成二进制数,步骤如下:1把整数部分转换成二进制.2把小数部分转换成二进制.3在两部分之间加上小数点.浮点数还可以规范化,浮点数可以用单精度表示法和双精度表示法.规范化只存储这个数的三个部分的信息:符号,指教和尾数.如+1000111.0101规范化后为 + 2^6 * 1.0001110101
符号 指数 尾数
规范化数的单精度表示法如+2^6*1.01000111001解:
由于符号为正,就用0表示.指数是6,在Excess_127表示法中,给指数加上127得到133.用二进制表示,就是10000101.尾数是01000111001.当把位数增加到32位,得到
01000111001000000000000.注意不可以漏掉左边的0,因为它是小数.漏掉了那个0就相当于把这个数乘于2.这个数在内存中以32位数存储.如下所示 符号 指数 尾数
0 10000101 01000111001000000000000
众所周知，科学计数法既可以表示整数，也可以表示小数，并且表示的数据范围很大。
在计算机中也引入了类似于十进制科学计数法的方法来表示实数，称为浮点数表示法，因其小数点位置不固定而得名。
1.浮点数的表示方法。
用浮点数表示法不仅可以表示整数和纯小数，而且可以表示一般的实数，其表示范围比定点数要大得多。因为无论采用定点还是浮点表示，n位编码总是最多只能表示2n个数，所以采用浮点表示法虽然扩大了表示范围，但并没有增加可表示的数值的个数，只是数据间的间隔变稀疏了。
一种浮点数的格式：
| Ms | Es | El-2 |...| E0 | M-1 | M-2 |...| M-(m-1) |
数符 阶符 阶 码 尾 数
可见，浮点数的编码由两部分组成：阶码E和尾数M。浮点数表示的数值位：(-1)Ms · BE. M · 其中，B是阶码的底，也就是尾数M的基数，一般为2。
E为阶码，即指数，为带符号的定点整数，常用移码表示，其中，Es为阶符，表示阶的正负。如果用移码表示阶码E，当阶码被作为一个无符号整数对待时，其数的大小相对关系不变，为浮点数加减法时的对阶运算提供了方便。
M是尾数，是定点纯小数，常用补码表示，也有用原码表示的。Ms是尾数的符号位，安排在最高位，表示该浮点数的正负。
浮点数的表示范围主要由阶码决定，精度则由尾数决定。
2.规格化浮点数。
为了简化浮点数的操作，充分利用尾数的二进制位数来表示更多的有效数字，通常采用浮点数规格化形式，即将位数的绝对值限定在某个范围之内。一个规格化的数是一个有效数的最高有效位非0的数。
如果阶码的底为2，则规格化浮点数的尾数应满足条件：1/2<=|M|<1。
当尾数用补码表示时，若尾数M>=0，由于[1/2]补=0.10000..0 ，尾数应具有如下格式： M=0.1xxxx...x(其中x表示既可以为0也可以为1)