发布时间 : 星期四 文章《现代控制理论》课后习题全部答案（最完整打印版）更新完毕开始阅读88b4ecaef705cc17552709b3
《现代控制理论》课后习题全部答
??11?（2）x???x ?1?1??2解：（1）系统唯一的平衡状态是xe?0。选取Lyapunov函数为V(x)?x12?x2?0，则
?V(x)?2x1x1?2x2x2?2x1(?x1?2x2)?2x2(2x1?3x2)2??2x12?6x1x2?6x2
332??2(x1?x2)2?x2?022V(x)是负定的。x??，有V(x)??。即系统在原点处大范围渐近稳定。
2（2）系统唯一的平衡状态是xe?0。选取Lyapunov函数为V(x)?x12?x2?0，则 ?V(x)?2x1x1?2x2x2?2x1(?x1?x2)?2x2(?x1?x2)
2??2x12?2x2?0??V(x)是负定的。x??，有V(x)??。即系统在原点处大范围渐近稳定。
4-6设非线性系统状态方程为：
x1?x2x2??a(1?x2)x2?x1,a?0试确定平衡状态的稳定性。
解：若采用克拉索夫斯基法，则依题意有：
2
x2?? f(x)???2??a(1?x2)x2?x1?1??f(x)?0J(x)????1?a?4ax?3ax2?
?xT?22?取P?I
?Q(x)?JT(x)?J(x)?11?0??0? ????2?2??1?a?4ax2?3ax2???1?a?4ax2?3ax2?0?0???2??0?2a?8ax2?6ax2?很明显，Q(x)的符号无法确定，故改用李雅普诺夫第二法。选取Lyapunov函数为
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2V(x)?x12?x2?0，则
?V(x)?2x1x1?2x2x2?2x1x2?2x2(?x1?a(1?x2)2x2)
22??2a(1?x2)x2?0?V(x)是负定的。x??，有V(x)??。即系统在原点处大范围渐近稳定。
4-9设非线性方程：
x1?x2x2??x?x2试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。 解：（1）采用克拉索夫斯基法，依题意有：
31
?x2?f(x)??3? ?x?x?12?J(x)??f(x)?0??2T?x??3x1T1? ??1??x2?2??x?x2???3?x2?(?x13?x2)2 ???x1?x2?31V(x)?f(x)f(x)???x2x??，有V(x)??。 取P?I
?Q(x)?JT(x)?J(x)?0?3x12??0?????21?1????3x1?01?3x12????21?3x?2?1?1? ?1??《现代控制理论》课后习题全部答
?0则Q(x)??2?1?3x?1?1?3x12?? ，根据希尔维斯特判据，有： 2?3x12?12?（3x12?1）?0，Q(x)的符号无法判断。 23432x1?x2?0，则 420?1?0，?2??1?3x12（2）李雅普诺夫方法：选取Lyapunov函数为V(x)?V(x)?3x13x1?3x2x2?3x13x2?3x2(?x13?x2)
2??3x2?0??V(x)是负定的。x??，有V(x)??。即系统在原点处大范围渐近稳定。
4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数
?x1?-x1?2x12x2 ?x2?-x2?解：假设V(x)的梯度为：
?a11x1?a12x2???V1??V??????
ax?ax?V?211222??2?计算V(x)的导数为：
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??x1?2x12x2?V(x)?(?V)x??a11x1?a12x2a21x1?a22x2????x?2?
22??a11x12??a12?a21?x1x2?a22x2?2a12x12x2?2a11x13x2?T选择参数，试选a11?a22?1,a12?a21?0，于是得：
?x1???V1??V2?x?x?,即1?2?0，表明上述选择的参数是允许?V???，显然满足旋度方程?x2?x1?x2?x1?x2?的。则有：
2V(x)??(1?2x1x2)x12?x2
?111?2xx?0或xx?xx?如果，则V(x)是负定的，因此，12是x1和x2的约束条件。 121222?计算得到V(x)为：
x1(x2?0)x2(x1?x1)V(x)??0x1dx1??0x2dx2
12?(x12?x2)211?2xx?0即xx?V(x)是正定的，因此在范围内，xe?0是渐进稳定的。12122