发布时间 : 星期五 文章垂直关系的判定解析版更新完毕开始阅读88d188db998fcc22bdd10d21
2．根据线线、线面、面面之间的垂直关系探讨点的位置，解题的思路是从特殊位置入手，一般是中点或线段的端点处．另外，对于解答题，在解答后面小题时可注意应用前面小题的结论．
1．给出下列四个命题：
①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线．其中正确的命题共有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：①中两条直线若不相交，则直线与平面不一定垂直；①错误；由线面垂直的定义知②正确；由于梯形的两腰所在直线是相交的，故③正确；若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则该直线与梯形所在平面不一定垂直，从而不一定垂直于两腰所在直线，④错误．
答案：B
2．经过平面外两点作与此平面垂直的平面，则这样的平面( )． A．只能作一个 B．只能作两个 C．可以作无数个 D．可作一个或无数个
解析：当两点所在直线垂直于平面时，可作无数个；否则，有且仅有1个． 答案：D
3．如图，已知PA垂直于△ABC所在平面，且∠ABC＝90°，连接PB，PC，则图形中互相垂直的平面有( )．
A．一对 B．两对 C．三对 D．四对
解析：平面PAB⊥平面ABC；平面PAC⊥平面ABC；平面PAB⊥平面PBC. 答案：C
4．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且
CE∥AB.
求证：CE⊥平面PAD.
证明：因为PA⊥平面ABCD，CE平面ABCD， 所以PA⊥CE.
因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD. 又PA∩AD＝A，所以CE⊥平面PAD.
5．如图，四边形ABCD是菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.
证明：连接AC交BD于O，连接OE.
因为O为AC中点，E为PA的中点，所以EO是△PAC的中位线，EO∥PC.
[来源:学科网ZXXK]
因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD. 又因为EO平面BDE， 所以平面BDE⊥平面ABCD.
1 垂直关系的判定
问题导学
1．线面垂直的判定 活动与探究1
如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，在平面PAB中，作AH⊥PB．
(1)求证：BC⊥平面PAB； (2)求证：AH⊥平面PBC． 迁移与应用
1．已知四棱锥P－ABCD的底面是菱形，且∠ABC＝60°，PA＝PC＝2，PB＝PD．若O是AC与BD的交点，求证：PO⊥平面ABCD．
2．在空间四边形ABCD中，若AB＝AC，DB＝DC，求证：BC⊥AD．
1．利用直线和平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的步骤： (1)在这个平面内找两条直线，证明它和这条直线垂直； (2)说明这个平面内的两条直线是相交的直线； (3)根据判定定理得出结论．
2．利用直线和平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：
证明线面垂直的关键是分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形底边的中线、梯形的高、菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法．
3．证明线面垂直时，需要先证线线垂直，而线线垂直关系的获得往往是先证得线面垂直，从而根据线面垂直的定义得出线线垂直，因此证明过程通常是反复利用线面垂直的定义及线面
垂直判定定理的过程．
2．面面垂直的判定 活动与探究2
如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点．求证：平面ABM⊥平面A1B1M.
迁移与应用
1．在空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有( )． A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ADB C．平面ABC⊥平面DBC D．平面ADC⊥平面DBC
2．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝23，BC＝6.求证：平面PBD⊥平面PAC．
[来源学_科_网]
1．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直，关键是先证线面垂直，再证线在另一个平面内，最终得到面面垂直．具体方法是：线线垂直――-----------→线面垂直―---------------―→面面垂直．
2．利用判定定理证两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线图形中不存在，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明．
3．简单的二面角问题 活动与探究3
已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，求二面角C1－BD－C的正切值． 迁移与应用
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A1－BC－D的大小等于__________． 1．二面角的平面角
求二面角的关键是作出二面角的平面角，作二面角的平面角的常用方法有：
(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，过这个点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．
线面垂直的判定定理
面面垂直的判定定理
(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．
2．求二面角的步骤是：(1)作，找或作出二面角的平面角；(2)证，证明所找的角就是所求的角；(3)求，在三角形中计算所求角的大小．
当堂检测
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )． A．平面DD1C1C B．平面A1DB1 C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB
2．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，又AB⊥AC，则互相垂直的面有( )． A．两对 B．三对 C．四对 D．五对
3．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，且PA＝AB．那么二面角P－CD－A的大小为______．
(第2题图) (第3题图)
4．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB．
求证：CE⊥平面PAD．
5．如图，四边形ABCD是菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD．
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